Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

124
37. Îïåðàòîð ñïèíà è åãî âîëíîâûå ôóíêöèè
 ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèìè ïðèíöèïàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñîáñòâåí-
íîìó ìåõàíè÷åñêîìó ìîìåíòó ýëåêòðîíà  ñïèíó  äîëæåí ñîïîñòàâëÿòüñÿ
ëèíåéíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, íå ÿâëÿþùèéñÿ ôóíêöèåé íè êîîð-
äèíàò, íè ïðîåêöèé èìïóëüñà. Ïî Ãàóäñìèòó è Þëåíáåêó ïðîåêöèÿ ñïèíà
(à îí ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì) íà êàêîå ëèáî íàïðàâëåíèå êâàíòóåòñÿ è ðàâíà
.
2
1
h±
Ðàññìîòðåííûå ðàíåå ýêñïåðèìåíòû ýòî ïîäòâåðæäàþò.
Îïåðàòîð ñïèíà îáîçíà÷àåòñÿ òàê :
s
ˆ
r
, ñîîòâåòñòâåííî åãî ïðîåêöèè
:
.
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
zyx
sss
Ýòè îïåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ïåðåñòàíîâî÷íûì
ñîîòíîøåíèÿì, ÷òî è ïðîåêöèè îïåðàòîðà ìîìåíòà èìïóëüñà, ò.å.
zxyyx
sissss
ˆˆˆˆˆ
h=−
.
Àíàëîãè÷íî ñîñòàâëÿþòñÿ è äâà äðóãèõ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíî-
øåíèÿ.Òàê êàê ïðîåêöèè îïåðàòîðà ñïèíà íå êîììóòèðóþò, òî íåçàâèñè-
ìîé âåëè÷èíîé ìîæåò ñëóæèòü ëèøü îäíà èç íèõ, îáû÷íî âûáèðàþò ïðî-
åêöèþ íà îñü Îz .
Ñîãëàñíî ãèïîòåçå î ñïèíå, ïðîåêöèè ñïèíà íà îñü Îz ñîîòâåòñòâóåò
ïðîåêöèÿ ñïèíîâîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà. Èñïîëüçóÿ ãèðîìàãíèòíîå ñî-
îòíîøåíèå, ìîæåì íàïèñàòü :
.
z
e
o
z
s
m
e
m
µ
−=
Ïîýòîìó íàðÿäó ñ îïåðàòîðîì ñïèíà ââîäèòñÿ îïåðàòîð ñïèíîâîãî
ìàãíèòíîãî ìîìåíòà:
.
ˆˆ
s
m
e
m
e
o
s
rr
µ
−=
Îáëàäàÿ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì, ýëåêòðîí âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå
èíäóêöèè
B
r
, ïðèîáðåòàåò ýíåðãèþ:
( )
Bmu
ss
r
r
−=
.
Ïîýòîìó ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà ñ ó÷åòîì ñïèíà èìååò âèä :
).
ˆ
(
ˆ
2
1
ˆ
2
Bs
m
e
Up
m
H
e
o
e
r
r
µ
−+=
         37. Îïåðàòîð ñïèíà è åãî âîëíîâûå ôóíêöèè

      Â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèìè ïðèíöèïàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñîáñòâåí-
íîìó ìåõàíè÷åñêîìó ìîìåíòó ýëåêòðîíà – ñïèíó – äîëæåí ñîïîñòàâëÿòüñÿ
ëèíåéíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, íå ÿâëÿþùèéñÿ ôóíêöèåé íè êîîð-
äèíàò, íè ïðîåêöèé èìïóëüñà. Ïî Ãàóäñìèòó è Þëåíáåêó ïðîåêöèÿ ñïèíà
(à îí ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì) íà êàêîå ëèáî íàïðàâëåíèå êâàíòóåòñÿ è ðàâíà
 1
± h. Ðàññìîòðåííûå ðàíåå ýêñïåðèìåíòû ýòî ïîäòâåðæäàþò.
 2
    Îïåðàòîð ñïèíà îáîçíà÷àåòñÿ òàê : ŝr , ñîîòâåòñòâåííî åãî ïðîåêöèè
: sˆ x , sˆ y , sˆ z . Ýòè îïåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ïåðåñòàíîâî÷íûì
ñîîòíîøåíèÿì, ÷òî è ïðîåêöèè îïåðàòîðà ìîìåíòà èìïóëüñà, ò.å.
                                   sˆ x sˆ y − sˆ y sˆ x = ihsˆ z .
     Àíàëîãè÷íî ñîñòàâëÿþòñÿ è äâà äðóãèõ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíî-
øåíèÿ.Òàê êàê ïðîåêöèè îïåðàòîðà ñïèíà íå êîììóòèðóþò, òî íåçàâèñè-
ìîé âåëè÷èíîé ìîæåò ñëóæèòü ëèøü îäíà èç íèõ, îáû÷íî âûáèðàþò ïðî-
åêöèþ íà îñü Îz .
     Ñîãëàñíî ãèïîòåçå î ñïèíå, ïðîåêöèè ñïèíà íà îñü Îz ñîîòâåòñòâóåò
ïðîåêöèÿ ñïèíîâîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà. Èñïîëüçóÿ ãèðîìàãíèòíîå ñî-
îòíîøåíèå, ìîæåì íàïèñàòü :
                                       µo e
                              mz = −        sz .
                                       me
     Ïîýòîìó íàðÿäó ñ îïåðàòîðîì ñïèíà ââîäèòñÿ îïåðàòîð ñïèíîâîãî
ìàãíèòíîãî ìîìåíòà:
                               r      µ er
                              mˆ s = − o sˆ .
                                      me
     Îáëàäàÿ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì, ýëåêòðîí âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå
         r
èíäóêöèè B , ïðèîáðåòàåò ýíåðãèþ:
                                     r r
                                       ( )
                             u s = − ms B .
     Ïîýòîìó ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà ñ ó÷åòîì ñïèíà èìååò âèä :

                              1            µ e rr
                       Hˆ =      pˆ 2 + U − o ( sˆ B).
                            2 me           me

                                    124

Страницы