Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

125
 ýòîé ôîðìóëå ó÷òåíî ëèøü âçàèìîäåéñòâèå ñïèíà (ñïèíîâîãî ìàã-
íèòíîãî ìîìåíòà) ñ âíåøíèì ïîëåì. Ìû ïðåíåáðåãàåì ïðè ýòîì òàê íàçû-
âàåìûìè ñïèí-îðáèòàëüíûì è ñïèí-ñïèíîâûì âçàèìîäåéñòâèÿìè.
Îïåðàòîð ñïèíà, êîòîðûé íå èìååò êëàññè÷åñêîãî àíàëîãà, íåëüçÿ
ïîñòðîèòü, èñïîëüçóÿ ñîîòâåòñòâóþùèå êëàññè÷åñêèå âûðàæåíèÿ.Îäíà-
êî, ìû çíàåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèè ñïèíà íà êàêîå-ëèáî íàïðàâ-
ëåíèå, íàïðèìåð, íà îñü Oz. Èõ âñåãî äâà:
.
2
1
,
2
1
21
hh −==
zz
ss
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñâîåì ñîáñòâåííîì ïðåäñòàâëåíèè ìàòðèöà îïå-
ðàòîðà äèàãîíàëüíà è íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ðàñïîëîæåíû ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà. Ïîýòîìó ìàòðèöà îïåðàòîðà
z
s
ˆ
â åãî ñîáñòâåííîì
ïðåäñòàâëåíèè áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:
.
2
1
0
0
2
1
ˆ
−
=
h
h
z
s
Âûøå îòìå÷àëîñü, ÷òî îïåðàòîðû
yx
s
è
s
ˆˆ
íå êîììóòèðóþò êàê
ìåæäó ñîáîé, òàê è ñ îïåðàòîðîì
z
s
ˆ
, ïîýòîìó îíè íå ìîãóò èìåòü äèàãî-
íàëüíûé âèä â îäíîì è òîì æå ïðåäñòàâëåíèè. Íî èñïîëüçóÿ çàïèñàííûå
âûøå ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ýòèõ êîìïîíåíò îïåðàòîðà ñïè-
íà, ìîæíî ïîëó÷èòü èõ ïðåäñòàâëåíèÿ â ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðà
z
s
ˆ
:
.
2
01
10
ˆ
,
2
0
0
ˆ
hh
=
−
=
xy
s
i
i
s
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ ìàòðèö, ìîæíî ñîñòàâèòü êâàäðàòû
ýòèõ ïðîåêöèé îïåðàòîðà ñïèíà. È ñîñòàâëÿÿ ñóììó ýòèõ êâàäðàòîâ, òî
åñòü ñîñòàâëÿÿ êâàäðàò îïåðàòîðà ñïèíà â
z
s
- ïðåäñòàâëåíèè, ïîëó÷àåì:
.
10
01
4
3
10
01
10
01
10
01
4
ˆˆˆˆ
2
2
222
2
=
+
+
=++= h
h
zyx
ssss
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð
2
ˆ
s
- â
z
s
-ïðåäñòàâ-
ëåíèè è ñàì îïåðàòîð
z
s
ˆ
â ñâîåì ïðåäñòàâëåíèè  äèàãîíàëüíû, à ïîòîìó
       Â ýòîé ôîðìóëå ó÷òåíî ëèøü âçàèìîäåéñòâèå ñïèíà (ñïèíîâîãî ìàã-
íèòíîãî ìîìåíòà) ñ âíåøíèì ïîëåì. Ìû ïðåíåáðåãàåì ïðè ýòîì òàê íàçû-
âàåìûìè ñïèí-îðáèòàëüíûì è ñïèí-ñïèíîâûì âçàèìîäåéñòâèÿìè.
     Îïåðàòîð ñïèíà, êîòîðûé íå èìååò êëàññè÷åñêîãî àíàëîãà, íåëüçÿ
ïîñòðîèòü, èñïîëüçóÿ ñîîòâåòñòâóþùèå êëàññè÷åñêèå âûðàæåíèÿ.Îäíà-
êî, ìû çíàåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèè ñïèíà íà êàêîå-ëèáî íàïðàâ-
ëåíèå, íàïðèìåð, íà îñü Oz. Èõ âñåãî äâà:
                              1              1
                                s z1 =
                                h , s z 2 = − h.
                              2              2
     Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñâîåì ñîáñòâåííîì ïðåäñòàâëåíèè ìàòðèöà îïå-
ðàòîðà äèàãîíàëüíà è íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ðàñïîëîæåíû ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà. Ïîýòîìó ìàòðèöà îïåðàòîðà ŝ z â åãî ñîáñòâåííîì
ïðåäñòàâëåíèè áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:

                                        1    
                                         h 0 
                                 sˆ z =      .
                                          2
                                           1 
                                        0 − h
                                           2 

     Âûøå îòìå÷àëîñü, ÷òî îïåðàòîðû sˆ x                   è sˆ y íå êîììóòèðóþò êàê
ìåæäó ñîáîé, òàê è ñ îïåðàòîðîì ŝ z , ïîýòîìó îíè íå ìîãóò èìåòü äèàãî-
íàëüíûé âèä â îäíîì è òîì æå ïðåäñòàâëåíèè. Íî èñïîëüçóÿ çàïèñàííûå
âûøå ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ýòèõ êîìïîíåíò îïåðàòîðà ñïè-
íà, ìîæíî ïîëó÷èòü èõ ïðåäñòàâëåíèÿ â ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðà ŝ z :
                                   0 − i  h           0 1 h
                            sˆ y =       , sˆ x =      .
                                     i 0   2         1 0  2
     Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ ìàòðèö, ìîæíî ñîñòàâèòü êâàäðàòû
ýòèõ ïðîåêöèé îïåðàòîðà ñïèíà. È ñîñòàâëÿÿ ñóììó ýòèõ êâàäðàòîâ, òî
åñòü ñîñòàâëÿÿ êâàäðàò îïåðàòîðà ñïèíà â s z - ïðåäñòàâëåíèè, ïîëó÷àåì:


                                     h2   1 0  1 0  1 0  3 2 1 0 
        sˆ 2 = sˆ x + sˆ y + sˆz =              +   +   = h  .
                   2      2     2
                                     4      0 1  0 1  0 1 4  0 1
     Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð ŝ 2 - â s z -ïðåäñòàâ-
ëåíèè è ñàì îïåðàòîð ŝ z â ñâîåì ïðåäñòàâëåíèè – äèàãîíàëüíû, à ïîòîìó

                                               125

Страницы