Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

126
êîììóòèðóþò ìåæäó ñîáîé, ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòèõ
îïåðàòîðîâ ìîãóò èìåòü îäíîâðåìåííî òî÷íûå çíà÷åíèÿ.
Îïåðàòîð
z
s
ˆ
èìåò äâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ, èì ñîîòâåòñòâóþò äâå
ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Îáîçíà÷èì ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ ýòîãî îïåðàòî-
ðà, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ
h
2
1
=
z
s
÷åðåç
2
1
S
, ñîîòâåò-
ñòâåííî âòîðàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ áóäåò
2
1
−
S
. Èíäåêñû áóäåì íàçû-
âàòü ñïèíîâûìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, ò.å. ñïèíîâîå êâàíòîâîå ÷èñëî ïðè-
íèìàåò äâà äèñêðåòíûõ çíà÷åíèÿ
.
2
1
±
Òàêîé âûáîð ñïèíîâûõ êâàíòîâûõ
ôóíêöèé óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèþ: åñëè ýëåêòðîí èìååò ïðîåêöèþ ñïè-
íà
h
2
1
=
z
s
, òî âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ïðè èçìåðåíèè äðóãîãî çíà÷åíèÿ
ïðîåêöèè ñïèíà ( ò.å.
h
2
1
−=
z
s
) ðàâíà íóëþ.
Ïîñêîëüêó ñïèíîâûå ôóíêöèè ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü âåðîÿòíîñòü
âåëè÷èíû ïðîåêöèè ñïèíà, òî â êà÷åñòâå èõ àðãóìåíòîâ ìîæíî âçÿòü ýòè
âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ. Èñõîäÿ èç ñîäåðæàíèÿ ïðåäûäóùåãî àáçàöà, ìîæíî
çàïèñàòü:
.0)
2
1
(,0)
2
1
(
2
1
2
1
==−
−
hh SS
Î÷åâèäíî, ÷òî
.1)
2
1
(,1)
2
1
(
2
1
2
1
=−=
−
hh SS
Óáåäèìñÿ, ÷òî ïîñòðîåííûå ñïèíîâûå ôóíêöèè îðòîíîðìèðîâàíû.
Óñëîâèå íîðìèðîâêè çàïèøåòñÿ òàê:
,1)
2
1
()
2
1
(
2
2
1
2
2
1
=−+ hh SS
à óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè:
.0)
2
1
()
2
1
()
2
1
()
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
=−−+
−
•
−
•
hhhh SSSS
Ïðè ñîñòàâëåíèè ýòèõ âûðàæåíèé ó÷èòûâàëèñü êàê äèñêðåòíûå çíà÷å-
íèÿ ïðîåêöèé ñïèíà, òàê è äèñêðåòíîå ÷èñëî ñïèíîâûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé.
êîììóòèðóþò ìåæäó ñîáîé, ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòèõ
îïåðàòîðîâ ìîãóò èìåòü îäíîâðåìåííî òî÷íûå çíà÷åíèÿ.
     Îïåðàòîð ŝ z èìåò äâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ, èì ñîîòâåòñòâóþò äâå
ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Îáîçíà÷èì ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ ýòîãî îïåðàòî-
                                               1       S
ðà, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ s z = h ÷åðåç 1 , ñîîòâåò-
                                                                  2         2

                                                     S
ñòâåííî âòîðàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ áóäåò                 −
                                                             1
                                                                 . Èíäåêñû áóäåì íàçû-
                                                             2
âàòü ñïèíîâûìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, ò.å. ñïèíîâîå êâàíòîâîå ÷èñëî ïðè-
                                      1
íèìàåò äâà äèñêðåòíûõ çíà÷åíèÿ ± . Òàêîé âûáîð ñïèíîâûõ êâàíòîâûõ
                                      2
ôóíêöèé óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèþ: åñëè ýëåêòðîí èìååò ïðîåêöèþ ñïè-
       1
íà s z = h , òî âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ïðè èçìåðåíèè äðóãîãî çíà÷åíèÿ
       2
                             1
ïðîåêöèè ñïèíà ( ò.å. s z = − h ) ðàâíà íóëþ.
                             2
     Ïîñêîëüêó ñïèíîâûå ôóíêöèè ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü âåðîÿòíîñòü
âåëè÷èíû ïðîåêöèè ñïèíà, òî â êà÷åñòâå èõ àðãóìåíòîâ ìîæíî âçÿòü ýòè
âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ. Èñõîäÿ èç ñîäåðæàíèÿ ïðåäûäóùåãî àáçàöà, ìîæíî
çàïèñàòü:
                              1              1
                       S 1 ( − h) = 0 , S 1 ( h ) = 0.
                              2          −   2
                         2                 2

     Î÷åâèäíî, ÷òî
                             1                 1
                        S 1 ( h ) = 1 , S 1 ( − h ) = 1.
                             2           −     2
                          2                2

    Óáåäèìñÿ, ÷òî ïîñòðîåííûå ñïèíîâûå ôóíêöèè îðòîíîðìèðîâàíû.
Óñëîâèå íîðìèðîâêè çàïèøåòñÿ òàê:
                                  2              2
                              1            1
                         S 1 ( h) + S 1 ( − h) = 1,
                           2
                              2       2
                                           2

à óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè:
                    • 1       1         •  1          1
                S 1 ( h) S 1 ( h) + S 1 ( − h) S 1 ( − h) = 0.
                      2   −   2            2    −     2
                  2         2         2           2

     Ïðè ñîñòàâëåíèè ýòèõ âûðàæåíèé ó÷èòûâàëèñü êàê äèñêðåòíûå çíà÷å-
íèÿ ïðîåêöèé ñïèíà, òàê è äèñêðåòíîå ÷èñëî ñïèíîâûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé.
                                      126

Страницы