Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 15 стр.

                       k0 +α

                        ∫αA(k )e
                                      −i (ωt − kr )
                Ψ=                                 dk .
                       k0 −

     Èíòåãðàë îçíà÷àåò, ÷òî áåðåòñÿ ñóììà áåñêîíå÷íî áëèçêèõ ïî âîëíî-
âîìó ÷èñëó âîëí äå-Áðîéëÿ. Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå - îáùàÿ çàïèñü
âîëíû äå-Áðîéëÿ. Äëÿ îáùíîñòè ïðåäïîëàãàåì, ÷òî À - àìïëèòóäà âîëíû
òàêæå çàâèñèò îò âîëíîâîãî ÷èñëà. Òàê êàê ìû ñîñòàâëÿåì ñóïåðïîçèöèþ
ðàçëè÷íûõ âîëí, òî èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âîëíîâîìó ÷èñëó.
     Äëÿ âçÿòèÿ ýòîãî èíòåãðàëà ïðîâåäåì ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè ó ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè:
               ωt − kr = (ω − ω 0 )t − (k − k 0 ) r + ω 0 t − k 0 x =
               [(ω − ω 0 )t − ( k − k 0 )r ] + ω 0 t − k 0 r.
       Ïîäñòàâèì ýòîò ïîêàçàòåëü ñòåïåíè â ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæå-
íèå:
            k0 +α
                         −i [(ω −ω 0 )]t − (k − k0 )x
       Ψ=    ∫ A(k )e
            k0 −α
                                                        ⋅ e −i (ω0t −k0 x ) dk = B (k )e −i (ωt −k0 x ) ,

ãäå âåëè÷èíà        B(k ) íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé âîëíîâîãî ïàêåòà (ò. å. ãðóï-
ïû âîëí):
                                       k0 +α
                                                         −i [(ω −ω 0 )t −(k − k0 )x ]
                          B (k ) =       ∫ A(k )e
                                       k0 −α
                                                                                    dk .

     Îïðåäåëèì, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïåðåìåùàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå è âî
âðåìåíè àìïëèòóäà âîëíîâîãî ïàêåòà. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì óñëîâèå, àíà-
ëîãè÷íîå òîìó, êîòîðîå ìû ñîñòàâëÿëè äëÿ íàõîæäåíèÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè
âîëíû äå-Áðîéëÿ.
     Âûðàæåíèå (ω − ω 0 )t − (k − k0 ) x = const îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå âîë-
íîâîãî ïàêåòà. Ó âñåõ òî÷åê, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîìó óñëîâèþ, ôàçà âîë-
íîâîãî ïàêåòà îäíà è òà æå. Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ýòîãî
âûðàæåíèÿ:
                                          dx          (ω − ω 0 )
                                             = U ãð =
                                          dt           (k − k 0 )
      Ïî ïðàâèëó ñîñòàâëåíèÿ âîëíîâîãî ïàêåòà âåëè÷èíû, ñòîÿùèå â ÷èñëè-
òåëå è çíàìåíàòåëå ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà, ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíàìè áåñêîíå÷-
íî ìàëûìè. Çàìåíèì êîíå÷íûå ðàçíîñòè áåñêîíå÷íî ìàëûìè âåëè÷èíàìè:
                                                           15