Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 66 стр.

íîñòè. Ñàìó æå ôóíêöèþ       Ψ , óäîâëåòâîðÿþùóþ ïîñòàâëåííîé çàäà÷å,
áóäåì èñêàòü â âèäå
                                                   χ2
                                               −
                    Ψ = u ⋅ Ψàñ = u ⋅ e            2
                                                           ,           (17.12)

ãäå ôóíêöèÿ u íå äîëæíà ðàñòè áûñòðåå âòîðîãî ìíîæèòåëÿ â (17.12),
òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ Ψ áóäåò êîíå÷íîé íà áåñêîíå÷íîñòè.
     Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèþ (17.12) â óðàâíåíèå (17.9), ïîëó÷àåì äëÿ ôóíê-
öèè u ñëåäóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå:

                    u ' '−2χ ⋅ u '+ (λ − 1)u = 0.                      (17.13)
     Âîçüìåì ôóíêöèþ      u â âèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì âåëè÷èíû χ :
             u ( x ) = ao + a1 χ + a2 χ 2 + ..... + a k χ k + ...      (17.14)
     Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (17.14) â (17.13) è ýëåìåíòàðíûõ óïðîùåíèé,
ïîëó÷èì äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà (17.14) ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
         ∞                         ∞                            ∞

      ∑ k (k − 1)ak χ k −2 − 2 χ ∑ kak χ k −1 + (λ − 1)∑ ak χ k = 0.
      k =2                        k =1                         k =0
                                                                       (17.15)

     Èçâåñòíî: ñóììà áåñêîíå÷íîãî ñòåïåííîãî ðÿäà òîæäåñòâåííî ðàâíà
íóëþ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíòû ïðè âñåõ ñòåïåíÿõ íåçàâè-
ñèìîé ïåðåìåííîé ðàâíû íóëþ. Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ ñóììó êîýôôèöèåíòîâ
ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøå-
íèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ak:
                a k +2 ( k + 2)(k + 1) − 2ka k + ( λ − 1)a k = 0,
îòêóäà
                                  2k − λ + 1
                    ak +2 = ak                     .                   (17.16)
                                 (k + 2 )(k + 1)
     È ïðè
                                                       ak +2 2
                    k → ∞ ïîëó÷àåì :                        ≈ .        (17.17)
                                                        ak   k
     Ïîêàæåì, ÷òî òàêîå æå ñîîòíîøåíèå èìååòñÿ ó êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà,

                                               eχ :
                                                       2
êîòîðûì ìîæíî ïðåäñòàâèòü ôóíêöèþ



                                          66