Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 67 стр.

                              χ4 χ6                 χk           χ k +2
           åχ = 1+ χ 2 +           +      + ... +           +              + ... =
             2


                               2!      3!          k k               
                                                       !        +  1 !
                                                   2 2 
                 = 1 + χ 2 + ... + bk χ k + bk + 2 χ k + 2 + ...
      Ñîñòàâèì îòíîøåíèå äâóõ ñîñåäíèõ êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî áåñêîíå÷-
íîãî ðÿäà:
                                 k
                                  !
                              =   ≈ ( ) −1 = .
                       bk + 2      2   k      2
                        bk      k    2      k                                      (17.18)
                                + 1!
                               2 
     Íî òî÷íî òàêîå æå ñîîòíîøåíèå ìû ïîëó÷èëè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ

                                                       e χ , ìû äîëæíû ïîòðåáîâàòü,
                                                         2
ðÿäà (17.14). Ñîïîñòàâëÿÿ åìó ôóíêöèþ
÷òîáû ýòîò ðÿä îáðûâàëñÿ íà êàêîì-òî ÷ëåíå (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ
(17.14) áóäåò ðàñõîäÿùåéñÿ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäíèì ÷ëåíîì â ýòîì
ðÿäå áóäåò ÷ëåí ñ íîìåðîì n: a n ≠ 0 ,              a n+ 2 = 0, òîãäà èç (17.16)ñëåäóåò,
÷òî
                       λ = λn = 2n + 1.                       (17.19).
    Ôîðìóëà (17.10) ïðè ó÷åòå (17.19) äàåò äëÿ ýíåðãèè êâàíòîâîãî ãàð-
ìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ÷ðåçâû÷àéíî âàæíóþ ôîðìóëó:
                                  1
                       Å = hω  n + .                                               (17.20).
                                  2
      Ïðè ñîñòàâëåíèè ðÿäà (17.14) ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî èíäåêñ ñóììèðî-
âàíèÿ ïðîáåãàåò âñåâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ îò 0 äî áåñêîíå÷íîñòè. Îáðûâàÿ
ðÿä íà ÷ëåíå ñ èíäåêñîì n, ìû ïî-ïðåæíåìó ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò èíäåêñ
ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ, íà÷èíàÿ îò íóëÿ. Ðàññìîòðèì, ÷òî ïîëó÷èòñÿ, åñëè
n=0. Ïðè ýòîì, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (17.20), ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà îêà-
çûâàåòñÿ íå ðàâíîé íóëþ:
                                              1
                                       E=       hω .
                                              2
      Ýòó ýíåðãèþ íàçûâàþò íóëåâîé ýíåðãèåé îñöèëëÿòîðà. Îíà èìååò
áîëüøîå íå òîëüêî ôèçè÷åñêîå, íî è ôèëîñîôñêîå ñîäåðæàíèå. Îáñóäèì
ýòîò ìîìåíò.

                                             67