Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 69 стр.

                                                      Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âû-
                                                 áåðåì ñèñòåìó îòñ÷åòà “Ïîòåí-
                                                 öèàëüíûé áàðüåð” è ñäåëàåì â
                                                 íåé ÷åðòåæ (ñì. ðèñ.4). Óòî÷-
                                                 íèì ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ “ïî-
                                                 òåíöèàëüíûé áàðüåð”. Ïîä
                                                 ýòèì ïîíÿòèåì ìû áóäåì ïîíè-
                                                 ìàòü îáëàñòü äåéñòâèÿ íåêîòî-
                                                 ðîãî ïîëÿ ñèë. Âûáåðåì ïðÿìî-
                                                 óãîëüíóþ ôîðìó ïîòåíöèàëü-
                                                 íîãî áàðüåðà, ýòà èäåàëèçàöèÿ
               Ðèñ. 4.                           ñóùåñòâåííî óïðîñòèò ìàòåìà-
                                                 òè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå çàäà-
÷è. Êàê âèäíî èç ðèñ.4 ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð âçÿò êîíå÷íîé âûñîòû U o è
êîíå÷íîé øèðèíû à. Ïóñòü ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñëåâà íàïðàâî èç îáëàñòè,
ðàñïîëîæåííîé ëåâåå ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà (ÏÁ), è ïðè ýòîì îáëàäàåò
êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé (ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà!), ìåíüøåé âûñîòû ÏÁ:
E < U o . Ïî êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì ÷àñòèöà äîëæíà áûëà áû îòðà-
çèòüñÿ îò ñòåíêè ÏÁ è îñòàòüñÿ ñëåâà îò íåãî. Êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå
ðàññìîòðåíèå ýòîé æå çàäà÷è ïðèâîäèò ê ïðèíöèïèàëüíî äðóãîìó ðåçóëü-
òàòó áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ÷àñòèöà îáëàäàåò êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûì äó-
àëèçìîì: ÷àñòèöà èìååò îïðåäåëåííóþ âåðîÿòíîñòü íå òîëüêî îòðàçèòüñÿ
îò ñòåíêè ÏÁ, íî è ïðîíèêíóòü âíóòðü åãî. À ïðè îïðåäåëåííîé øèðèíå ÏÁ
èìååòñÿ îïðåäåëåííàÿ âåðîÿòíîñòü îêàçàòüñÿ ÷àñòèöå è ïðàâåå ÏÁ. Èìåí-
íî ýòîò ýôôåêò è íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì òóííåëèðîâàíèÿ.
Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ äàííîé çàäà÷è íåîáõîäèìî ðåøèòü êîîðäèíàòíîå óðàâ-
íåíèå Øðåäèíãåðà (âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè âî âñåõ çà-
äà÷àõ îäèíàêîâà è áûëà íàéäåíà ðàíåå). Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì îäíî-
ìåðíóþ çàäà÷ó, òî óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà çàïèøåì â âèäå:
                             h 2 ∂ 2Ψ
                         −            + U 0 Ψ = EΨ ,
                             2m ∂x 2
èëè
                             ∂ 2 Ψ 2m
                                  + 2 ( E − U 0 ) Ψ = 0.             (18.1)
                             ∂x 2  h
      1-îé è 3-åé îáëàñòÿõ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñâîáîäíî, ïîýòîìó äëÿ ýòèõ
îáëàñòåé óðàâíåíèå (18.1) çàïèøåòñÿ òàê:


                                        69