Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

70
,0
2
1
22
1
2
=Ψ+
∂
Ψ∂
E
m
x
h
èëè
,
0
1
2
1
2
1
2
=Ψ+
∂
Ψ∂
k
x
ãäå
.
2
2
2
1
h
mE
k =
(18.2)
Óðàâíåíèå äëÿ 3-åé îáëàñòè áóäåò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî èíäåêñîì:
,0
3
2
3
2
3
2
=Ψ+
∂
Ψ∂
k
x
ãäå
.
2
2
2
3
mE
k
=
(18.3)
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî è â 1-îé è â 3-åé îáëàñòÿõ ýíåðãèÿ ÷àñ-
òèöû îäíà è òà æå, òàê êàê ïðîöåññ òóííåëèðîâàíèÿ íå ñâÿçàí ñ ñîâåðøåíè-
åì ðàáîòû, à îáóñëîâëåí êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè òóííåëè-
ðóþùåé ÷àñòèöû, äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ êîòîðîé ìû è èñïîëüçóåì óðàâ-
íåíèå Øðåäèíãåðà.
Òàê êàê â 1-îé è 3-åé îáëàñòÿõ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñâîáîäíî, òî ìû
ìîæåì òîò÷àñ æå íàïèñàòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (18.2) è (18.3):
xikxik
eBeA
11
111
−
+=Ψ
(18.4)
è
.
)(
3
)(
33
33
axikaxik
eBeA
−−−
+=Ψ
(18.5)
Ïåðâûå ñëàãàåìûå â ðåøåíèÿõ (18.4) è (18.5) îïðåäåëÿþò ïëîñêèå
âîëíû, êîòîðûå äâèæóòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè íà îñè Îõ. Âòî-
ðûå - îïðåäåëÿþò ïëîñêèå âîëíû, äâèæóùèåñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. È
åñëè â 1-îé îáëàñòè âîëíà, äîéäÿ äî áàðüåðà, ìîæåò îòðàçèòüñÿ, òî â 3-åé
îáëàñòè ïðàâåå áàðüåðà áîëüøå ïðåïÿòñòâèÿ íåò, ïîýòîìó â 3-åé îáëàñòè
íå áóäåò âîëíû, èäóùåé â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Îõ. Ýòî äàåò
íàì ïðàâî ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíò
.0
3
=B
È òîãäà ðåøåíèåì â 3-åé îá-
ëàñòè áóäåò ôóíêöèÿ:
.
)(
33
3
axik
eA
−
=Ψ
(18.6)
Äâèæåíèå ÷àñòèöû âî 2-îé îáëàñòè îïèñûâàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíå-
íèÿ (18.1). Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
()
0
2
2
2
2
UE
m
k
−=
h
(18.7)
Òàê êàê
0
UE <
, òî
.0
2
2
<k
Ïîýòîìó äëÿ äàëüíåéøåãî öåëåñîîáðàçíî
ââåñòè äîïîëíèòåëüíîå âîëíîâîå ÷èñëî
'k
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
               ∂ 2 Ψ1 2m               ∂ 2 Ψ1
                     +     Ψ  =               + k1 Ψ1 = 0,
                                                  2
                          E     0, èëè
                ∂x 2   h2               ∂x 2
                            1

ãäå
                              2mE
                              k1 =
                                 2
                                   .                          (18.2)
                               h2
      Óðàâíåíèå äëÿ 3-åé îáëàñòè áóäåò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî èíäåêñîì:
              ∂ 2 Ψ3                        2mE
                     + k 3 Ψ3 = 0, ãäå k 3 = 2 .
                          2               2
                                                                   (18.3)
               ∂x  2
                                             h
     Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî è â 1-îé è â 3-åé îáëàñòÿõ ýíåðãèÿ ÷àñ-
òèöû îäíà è òà æå, òàê êàê ïðîöåññ òóííåëèðîâàíèÿ íå ñâÿçàí ñ ñîâåðøåíè-
åì ðàáîòû, à îáóñëîâëåí êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè òóííåëè-
ðóþùåé ÷àñòèöû, äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ êîòîðîé ìû è èñïîëüçóåì óðàâ-
íåíèå Øðåäèíãåðà.
     Òàê êàê â 1-îé è 3-åé îáëàñòÿõ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñâîáîäíî, òî ìû
ìîæåì òîò÷àñ æå íàïèñàòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (18.2) è (18.3):
                    Ψ1 = A1e ik1 x + B1e −ik1x                     (18.4)
è
                    Ψ3 = A3eik3 ( x − a ) + B3e −ik3 ( x − a ) .   (18.5)
      Ïåðâûå ñëàãàåìûå â ðåøåíèÿõ (18.4) è (18.5) îïðåäåëÿþò ïëîñêèå
âîëíû, êîòîðûå äâèæóòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè íà îñè Îõ. Âòî-
ðûå - îïðåäåëÿþò ïëîñêèå âîëíû, äâèæóùèåñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. È
åñëè â 1-îé îáëàñòè âîëíà, äîéäÿ äî áàðüåðà, ìîæåò îòðàçèòüñÿ, òî â 3-åé
îáëàñòè ïðàâåå áàðüåðà áîëüøå ïðåïÿòñòâèÿ íåò, ïîýòîìó â 3-åé îáëàñòè
íå áóäåò âîëíû, èäóùåé â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Îõ. Ýòî äàåò
íàì ïðàâî ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíò B3 = 0. È òîãäà ðåøåíèåì â 3-åé îá-
ëàñòè áóäåò ôóíêöèÿ:
                    Ψ3 = A3e ik3 ( x − a ) .                       (18.6)
      Äâèæåíèå ÷àñòèöû âî 2-îé îáëàñòè îïèñûâàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíå-
íèÿ (18.1). Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:

                    k2 =
                       2     2m
                                (E − U 0 )                         (18.7)
                             h2
      Òàê êàê E < U 0 , òî k 2 2 < 0. Ïîýòîìó äëÿ äàëüíåéøåãî öåëåñîîáðàçíî
ââåñòè äîïîëíèòåëüíîå âîëíîâîå ÷èñëî k ' ñëåäóþùèì îáðàçîì:

                                               70

Страницы