Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

71
'
2
ikk =
, ãäå
.
)
(
2
'
2
E
U
m
k
o
−=
h
Óðàâíåíèå (18.1) äëÿ 2-îé îáëàñòè çàïèøåòñÿ òàê:
0
2
2
2
2
2
2
=Ψ+
∂
Ψ∂
k
x
. (18.8)
È óðàâí åíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè è â îáëàñòè 2 ïðèíÿëî òîò æå
âèä, ÷òî è äëÿ îáëàñòåé 1-îé è 3-åé, ñ òåì, îäíàêî, ïðèíöèïèàëüíûì îòëè-
÷èåì, ÷òî âîëíîâîå ÷èñëî
2
k
ÿâëÿåòñÿ ìíèìûì ÷èñëîì. Çàïèøåì ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (18.8) â òîé æå ôîðìå êàê äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû:
()
xikxik
eBeA
22
222
−
+=Ψ
,
èëè, ïåðåõîäÿ ê âîëíîâîìó ÷èñëó
'k
, èìååì:
() ( ) () ()
.
'
2
'
2
'
2
'
22
xkxkxikixiki
eBeAeBeA
+=+=Ψ
−⋅⋅−⋅⋅
(18.9)
Ââåäåì íîâûå âåëè÷èíû: êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ
R
è êîýôôèöèåíò
òóííåëèðîâàíèÿ
D
. Îïðåäåëèì èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïàä
ïðîø
ïàä
îòð
j
j
D
è
j
j
R ==
, (18.10)
ãäå ïëîòíîñòè ïîòîêîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå, êîòîðàÿ äëÿ îäíîìåðíî-
ãî ñëó÷àÿ ïðèíèìàåò âèä:
.
2
*
*
∂
Ψ∂
Ψ−
∂
Ψ∂
Ψ=
xxm
i
j
h
Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå âûøå âûðàæåíèÿ äëÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé
,,
321
ΨΨΨ è
(18.4), (18.6), (18.9), ïîëó÷èì äëÿ êîýôôèöèåíòîâ (18.10) ñëå-
äóþùèå çíà÷åíèÿ:
2
1
2
1
A
B
R =
è
.
2
1
2
3
A
A
D =
(18.11)
Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû
131
,,
BAA
, èñïîëüçóÿ íåïðåðûâíîñòü ñàìèõ
âîëíîâûõ ôóíêöèé ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé îáëàñòè â äðóãóþ, à òàêæå íå-
ïðåðûâíîñòü èõ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ:
,
2211
BABA +=+
,
3
)'(
2
)'(
2
22
AeBeA
akak
=+
−
(18.12)
                                                                    2m
                                 k 2 = ik ' , ãäå     k'=
                                                                    h2
                                                                       (U o − E ) .

     Óðàâíåíèå (18.1) äëÿ 2-îé îáëàñòè çàïèøåòñÿ òàê:
                              ∂ 2 Ψ2
                                     + k 2 Ψ2 = 0 .
                                          2
                                                                                                 (18.8)
                               ∂x 2
      È óðàâí åíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè è â îáëàñòè 2 ïðèíÿëî òîò æå
âèä, ÷òî è äëÿ îáëàñòåé 1-îé è 3-åé, ñ òåì, îäíàêî, ïðèíöèïèàëüíûì îòëè-
÷èåì, ÷òî âîëíîâîå ÷èñëî               k 2 ÿâëÿåòñÿ ìíèìûì ÷èñëîì. Çàïèøåì ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (18.8) â òîé æå ôîðìå êàê äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû:
                                    Ψ2 = A2 e ik 2 x + B2 e (−ik 2 x ) ,
èëè, ïåðåõîäÿ ê âîëíîâîìó ÷èñëó k ' , èìååì:

      Ψ2 = A2 e (i⋅ik '⋅ x ) + B2 e (−i⋅ik '⋅ x ) = A2 e (− k ' x ) + B2 e (k ' x ) .   (18.9)
     Ââåäåì íîâûå âåëè÷èíû: êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R è êîýôôèöèåíò
òóííåëèðîâàíèÿ D . Îïðåäåëèì èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

                          jîòð                    jïðîø
                R=                 è       D=               ,                                    (18.10)
                          jïàä                     jïàä
ãäå ïëîòíîñòè ïîòîêîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå, êîòîðàÿ äëÿ îäíîìåðíî-
ãî ñëó÷àÿ ïðèíèìàåò âèä:

                                           ih  ∂Ψ *      ∂Ψ 
                                  j=             Ψ    − Ψ*      .
                                           2m    ∂x      ∂x 
     Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå âûøå âûðàæåíèÿ äëÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé
Ψ1 , Ψ2 è Ψ3 , (18.4), (18.6), (18.9), ïîëó÷èì äëÿ êîýôôèöèåíòîâ (18.10) ñëå-
äóþùèå çíà÷åíèÿ:
                          2                                 2
                     B1                                A3
               R=         2            è         D=         2
                                                                .                                (18.11)
                     A1                                A1

    Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû A1 , A3 , B1 , èñïîëüçóÿ íåïðåðûâíîñòü ñàìèõ
âîëíîâûõ ôóíêöèé ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé îáëàñòè â äðóãóþ, à òàêæå íå-
ïðåðûâíîñòü èõ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ:
                                           A1 + B1 = A2 + B2 ,
                                       A2 e ( − k2 'a ) + B2 e ( k2 'a ) = A3 ,                  (18.12)
                                                      71

Страницы