Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

72
,
)
(
'
)(
2
22111
A
BkBAik
−=−
3
'
2
'
22
)
('
22
A
ik
eAeBk
akak
=−
−
,
ïðè÷åì, ÷òî áûëî îòìå÷åíî âûøå, êîýôôèöèåíòû
3
1
k
k
=
(ñì. èõ îïðåäåëå-
íèÿ).
Èç ýòîé ñèñòåìû ðàâåíñòâ ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âñåõ
ïÿòè êîýôôèöèåíòîâ
.,,,,
32121
ABBAA
Òàê êàê ÷èñëî ðàâåíñòâ, ñâÿçûâàþùèõ ïÿòü êîýôôèöèåíòîâ, íà îäíî
ìåíüøå, òî èìååòñÿ âîçìîæíîñòü îäíîé èç ïåðåìåííûõ çàäàòü ïðîèçâîëüíîå
çíà÷åíèå, íå ïðîòèâîðå÷àùåå óñëîâèþ çàäà÷è. Ìû âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì íèæå.
Ñîñòàâèì ïëîòíîñòè ïîòîêîâ
ïðîøîòðïàä
jjj
,
,
, èñïîëüçóÿ èñõîäíóþ
ôîðìóëó äëÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà:
∂
Ψ∂
Ψ−
∂
Ψ∂
Ψ=
xxm
i
j
*
*
2
h
.
Ïîêàæåì ðàñ÷åò ýòèõ âåëè÷èí íà ïðèìåðå îäíîé èç íèõ.
=
∂
Ψ∂
Ψ−
∂
Ψ∂
Ψ=
xxm
i
j
ïàä
ïàä
ïàä
ïàäïàä
*
*
2
h
()
()
() () ()
()
{}
=⋅−−⋅=
−−
11
1
*
1
*
11
1111
2
ikeAeAeAikeA
m
i
xikxikxikxik
h
()
.
2
2
1
1
11
2
1
A
m
k
ikikA
m
i
h
h
=−−=
(18.13)
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññ÷èòàòü è ïëîòíîñòè ïîòîêîâ
ïðîøîòð
j
è
j
:
2
3
3
2
1
1
A
m
k
jèB
m
k
j
ïðîøîòð
h
h
=−=
, (18.14)
ïðè÷åì
31
kk = .
Ðåøàÿ ñèñòåìó ðàâåíñòâ (18.12), ïîëó÷èì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
:,,
2121
BèBAA
() ()
akak
eA
in
B
è
eA
in
A
22
'
32
'
32
2
1
2
1
−
+
=
−
=
,
                                          ik1 ( A1 − B1 ) = k 2 ' ( B2 − A2 ) ,
                                      k 2 ' ( B2 e k2 'a − A2 e − k2 'a ) = ik 3 A3 ,
ïðè÷åì, ÷òî áûëî îòìå÷åíî âûøå, êîýôôèöèåíòû k1 = k 3 (ñì. èõ îïðåäåëå-
íèÿ).
      Èç ýòîé ñèñòåìû ðàâåíñòâ ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âñåõ
ïÿòè êîýôôèöèåíòîâ A1 , A2 , B1 , B2 , A3 .
     Òàê êàê ÷èñëî ðàâåíñòâ, ñâÿçûâàþùèõ ïÿòü êîýôôèöèåíòîâ, íà îäíî
ìåíüøå, òî èìååòñÿ âîçìîæíîñòü îäíîé èç ïåðåìåííûõ çàäàòü ïðîèçâîëüíîå
çíà÷åíèå, íå ïðîòèâîðå÷àùåå óñëîâèþ çàäà÷è. Ìû âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì íèæå.
  Ñîñòàâèì ïëîòíîñòè ïîòîêîâ                          jïàä , jîòð , jïðîø , èñïîëüçóÿ èñõîäíóþ
ôîðìóëó äëÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà:
                                           ih  ∂Ψ *      ∂Ψ 
                                      j=       Ψ    − Ψ*     
                                           2m   ∂x      ∂x  .
       Ïîêàæåì ðàñ÷åò ýòèõ âåëè÷èí íà ïðèìåðå îäíîé èç íèõ.
                                   ih        ∂Ψ * ïàä           ∂Ψïàä                
                         j ïàä =       Ψïàä          − Ψ * ïàä                       =
                                   2m         ∂x                 ∂x                   

        =
             ih
             2m
                   {                                                                                  }
                A1 e (ik 1 x ) ⋅ (− ik 1 )A *1 e (− ik 1 x ) − A *1 e (− ik 1 x ) A1 e (ik1 x ) ⋅ (ik 1 ) =

                                  ih                                  h k1
                              =      A1
                                             2
                                                 (− ik 1 − ik 1 ) =          2
                                                                           A1 .                           (18.13)
                                  2m                                   m
       Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññ÷èòàòü è ïëîòíîñòè ïîòîêîâ
jîòð     è       jïðîø :
                                   h k1                                  hk 3
                    j îòð = −                               j ïðîø =
                                                 2                              2
                                        B1            è                       A3 ,                        (18.14)
                                    m                                     m
ïðè÷åì   k1 = k 3 .
   Ðåøàÿ ñèñòåìó ðàâåíñòâ (18.12), ïîëó÷èì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
                                             1 − in                        1 + in
         A1, A2, B1 è B2 :           A2 =           A3 e (k '2 a ) è B 2 =        A3 e (− k '2 a ) ,
                                                2                             2



                                                          72

Страницы