Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

65
Íàïîìíèì âûâîä ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ:
∫∫
=−−=−=⇒−=
.
2
)()(
2
kx
dxkxFdxxU
dx
dU
F
Êîýôôèöèåíò k îïðåäåëèì èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êëàññè÷åñêîãî
îñöèëëÿòîðà:
22
2
2
0
ωω
mk
m
k
x
m
k
dt
xd
kxFma
=⇒=⇒=+⇒−==
.
Èòàê, óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè
)(x
Ψ
ïðè-
íèìàåò âèä:
.0
2
2
22
22
2
=Ψ
−+
Ψ xm
E
m
dx
d
ω
h
(17.6)
Ââåäåì íîâóþ áåçðàçìåðíóþ ïåðåìåííóþ, ýòî ïîçâîëèò íàì ñâåñòè
çàäà÷ó ê ðåøåíèþ èçâåñòíîãî èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà äèôôåðåíöè-
àëüíîãî óðàâíåíèÿ:
.x
m
⋅=
h
ω
χ
(17.8)
Òîãäà óðàâíåíèå (17.6) çàïèøåòñÿ òàê:
,0)(''
2
=Ψ−+Ψ
χλ
(17.9)
ãäå
⋅=
ω
λ
h
E2
(17.10)
Áóäåì ðåøàòü óðàâíåíèå (17.9) ìåòîäîì íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòè÷åñ-
êèõ ðåøåíèé. Î÷åâèäíî, ÷òî, êîãäà
∞→
x
,
2
χ
>>
λ
è òîãäà â óðàâíåíèè
(17.9) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âåëè÷èíîé
λ
, è ýòî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:
.0''
2
≈Ψ−Ψ
àñàñ
χ
(17.11)
Ëåãêî óáåäèòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé, ÷òî ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíå-
íèÿ áóäåò ôóíêöèÿ
.
2
2
χ
±
≈Ψ
e
àñ
Èç äâóõ ðåøåíèé (
±
) íóæíî îñòàâèòü òîëüêî ðåøåíèå ñî çíàêîì
(-), òàê êàê òîëüêî îíî óäîâëåòâîðèò êîíå÷íîñòè ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷-
      Íàïîìíèì âûâîä ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ:
          dU                                        kx 2
      F =−    ⇒ U ( x ) = − ∫ Fdx = − ∫ ( −kx )dx =      .
           dx                                        2
     Êîýôôèöèåíò k îïðåäåëèì èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êëàññè÷åñêîãî
îñöèëëÿòîðà:
                               d 2x k       k
             ma = F = − kx ⇒       + x = 0 ⇒ = ω 2 ⇒ k = mω 2 .
                               dt 2 m       m
    Èòàê, óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè           Ψ (x ) ïðè-
íèìàåò âèä:
              d 2 Ψ 2m         mω 2 x 2 
                   +       E −           Ψ = 0.                   (17.6)
              dx 2   h 2        2 
     Ââåäåì íîâóþ áåçðàçìåðíóþ ïåðåìåííóþ, ýòî ïîçâîëèò íàì ñâåñòè
çàäà÷ó ê ðåøåíèþ èçâåñòíîãî èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà äèôôåðåíöè-
àëüíîãî óðàâíåíèÿ:

                            mω
                     χ=        ⋅ x.                                 (17.8)
                             h
      Òîãäà óðàâíåíèå (17.6) çàïèøåòñÿ òàê:
                     Ψ ' '+(λ − χ 2 )Ψ = 0,                         (17.9)
ãäå
                          2E
                     λ=      ⋅                                      (17.10)
                          hω

      Áóäåì ðåøàòü óðàâíåíèå (17.9) ìåòîäîì íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòè÷åñ-
êèõ ðåøåíèé. Î÷åâèäíî, ÷òî, êîãäà       x → ∞ , χ 2 >> λ è òîãäà â óðàâíåíèè
(17.9) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âåëè÷èíîé       λ , è ýòî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:
                         Ψ ' 'àñ − χ 2 Ψàñ ≈ 0.             (17.11)
      Ëåãêî óáåäèòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé, ÷òî ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíå-
                               χ2
íèÿ áóäåò ôóíêöèÿ Ψ ≈ e ± 2 .
                   àñ

       Èç äâóõ ðåøåíèé ( ± ) íóæíî îñòàâèòü òîëüêî ðåøåíèå ñî çíàêîì
(-), òàê êàê òîëüêî îíî óäîâëåòâîðèò êîíå÷íîñòè ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷-

                                        65

Страницы