Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

64
åùå äîïîëíèòåëüíî ëèíåéíûì. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îäíîìåð-
íîå äâèæåíèå, ïîýòîìó ýïèòåò ëèíåéíûé áóäåì îïóñêàòü.
Ïîñêîëüêó ÊÃÎ áóäåò ïîäâåðæåí äåéñòâèþ âíåøíåé ñèëû, òî îí
áóäåò îáëàäàòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé. Ïîýòîìó â äàííîé çàäà÷å íàì
íåîáõîäèìî ðåøèòü ïîëíîå êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Ïî
ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèìè çàäà÷àìè, ìû äîëæíû âêëþ÷èòü â óðàâíåíèå è
îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Òàêèì îáðàçîì, íàì íåîáõîäèìî ðåøèòü
óðàâíåíèå âèäà:
,
2
2
Ψ=Ψ+∆Ψ− EU
m
h
(17.1)
èëè
()
0
2
22
2
=Ψ−+
∂
Ψ∂
UE
m
xh
. (17.2).
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
()
,
2
2
2
kUE
m
=−
h
(17.3)
òîãäà óðàâíåíèå (17.2) çàïèøåòñÿ òàê:
.0
2
2
2
=Ψ+
∂
Ψ∂
k
x
(17.4)
Íåñìîòðÿ íà âíåøíåå ïîäîáèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ óðàâíåíèÿìè äâè-
æåíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû è äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âíóòðè áåñêîíå÷íî ãëóáî-
êîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, ó íåãî åñòü ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå: â òåõ çàäà-
÷àõ êîýôôèöèåíò k áûë ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, èç ñîîòíîøåíèÿ (17.3)
âèäíî, ÷òî â äàííîé çàäà÷å ýòîò êîýôôèöèåíò ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäè-
íàòû ÷àñòèöû (îò ýòîé âåëè÷èíû çàâèñèò çíà÷åíèå ïîòåíöèàëüíîé ôóíê-
öèè
)(xU
). Òàê êàê ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàòû
÷àñòèöû, òî, ñîãëàñíî ñôîðìóëèðîâàííîìó ðàíåå ïðàâèëó íàõîæäåíèÿ
îïåðàòîðà ôóíêöèè îò êîîðäèíàò è ïðîåêöèé èìïóëüñà, â äàííîì ñëó÷àå
îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè
)(
ˆ
xU
ñîâïàäàåò ñ ñàìîé ôóíêöèåé
)(xU
.
Âîñïîëüçóåìñÿ çíà÷åíèåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè êëàññè÷åñêîãî ãàðìî-
íè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà:
.
2
)(
22
xm
xU
ω
=
(17.5)
åùå äîïîëíèòåëüíî ëèíåéíûì. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îäíîìåð-
íîå äâèæåíèå, ïîýòîìó ýïèòåò “ëèíåéíûé” áóäåì îïóñêàòü.
     Ïîñêîëüêó ÊÃÎ áóäåò ïîäâåðæåí äåéñòâèþ âíåøíåé ñèëû, òî îí
áóäåò îáëàäàòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé. Ïîýòîìó â äàííîé çàäà÷å íàì
íåîáõîäèìî ðåøèòü ïîëíîå êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Ïî
ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèìè çàäà÷àìè, ìû äîëæíû âêëþ÷èòü â óðàâíåíèå è
îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Òàêèì îáðàçîì, íàì íåîáõîäèìî ðåøèòü
óðàâíåíèå âèäà:
                 h2
             −      ∆Ψ + UΨ = EΨ,                                (17.1)
                 2m
èëè
             ∂ 2 Ψ 2m
                  + 2 (E − U )Ψ = 0 .                            (17.2).
             ∂x 2  h
      Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
            2m
                (E − U ) = k 2 ,                                 (17.3)
             h2
òîãäà óðàâíåíèå (17.2) çàïèøåòñÿ òàê:
               ∂2Ψ
                    + k 2 Ψ = 0.                                (17.4)
               ∂x 2
     Íåñìîòðÿ íà âíåøíåå ïîäîáèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ óðàâíåíèÿìè äâè-
æåíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû è äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âíóòðè áåñêîíå÷íî ãëóáî-
êîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, ó íåãî åñòü ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå: â òåõ çàäà-
÷àõ êîýôôèöèåíò k áûë ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, èç ñîîòíîøåíèÿ (17.3)
âèäíî, ÷òî â äàííîé çàäà÷å ýòîò êîýôôèöèåíò ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäè-
íàòû ÷àñòèöû (îò ýòîé âåëè÷èíû çàâèñèò çíà÷åíèå ïîòåíöèàëüíîé ôóíê-
öèè U (x) ). Òàê êàê ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàòû
÷àñòèöû, òî, ñîãëàñíî ñôîðìóëèðîâàííîìó ðàíåå ïðàâèëó íàõîæäåíèÿ
îïåðàòîðà ôóíêöèè îò êîîðäèíàò è ïðîåêöèé èìïóëüñà, â äàííîì ñëó÷àå
îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè Uˆ ( x ) ñîâïàäàåò ñ ñàìîé ôóíêöèåé U (x) .
Âîñïîëüçóåìñÿ çíà÷åíèåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè êëàññè÷åñêîãî ãàðìî-
íè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà:
                               mω 2 x 2
                    U ( x) =            .                        (17.5)
                                 2



                                            64

Страницы