Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 62 стр.

êóðñà ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè ñëåäóåò, ÷òî ýòî âîçìîæíî, åñëè àðãó-
ìåíò ñèíóñà ïðèíèìàåò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:
                        ka = nπ ,                          (16.12)
ãäå ÷èñëî n = 1,2,3... (î çíà÷åíèè n = 0 ïîãîâîðèì îòäåëüíî).
      Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîýôôèöèåíò k ñâÿçàí ñ ýíåðãèåé ÷àñòèöû ñîîòíîøå-
          2mE
íèåì k =
      2
              , ïîëó÷àåì âàæíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ýíåðãèè ÷àñòèöû, äâè-
           h2
æóùåéñÿ â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå:


                               n 2π 2 h 2
                         En =             .                    (16.13)
                                2ma 2
     Ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è èìååò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ êâàíòî-
âîé ìåõàíèêè. Åñëè â òåîðèè Í. Áîðà êâàíòîâàíèå ýíåðãèè â ñîñòîÿíèè
ýëåêòðîíà â àòîìå ïðèíèìàëîñü êàê ïîñòóëàò, òî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå óò-
âåðæäàåò êâàíòîâàíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëü-
íîé ÿìå êàê åñòåñòâåííîå ñëåäñòâèå ñàìîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, åå ôóíäà-
ìåíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ î êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûõ ñâîéñòâàõ ýëåìåíòàð-
íûõ ÷àñòèö.
     Âîçâðàòèìñÿ ê êâàíòîâîìó ÷èñëó ï è îáñóäèì, ïî÷åìó îíî íå ìîæåò
ïðèíèìàòü çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ï=0 è ýíåðãèÿ ÷àñ-
òèöû Å=0. Íî âíóòðè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ÷àñòèöà ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé è
îáëàäàåò òîëüêî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé. Çíàíèå òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ýíåð-
ãèè îïðåäåëÿåò òî÷íîå çíà÷åíèå è èìïóëüñà, îí òîæå ðàâåí íóëþ. Íî òîãäà
íà îñíîâàíèè ñîîòíîøåíèÿ Ãåéçåíáåðãà ∆x∆p x = h äëÿ âåëè÷èíû ∆x ìû
ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íî áîëüøîå çíà÷åíèå. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ çà-
äà÷è: øèðèíà ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, â ïðåäåëàõ êîòîðîé ìîæåò äâèãàòüñÿ
÷àñòèöà, êîíå÷íà. Âñå ýòî çàïðåùàåò êâàíòîâîìó ÷èñëó ï ïðèíèìàòü çíà-
÷åíèå, ðàâíîå íóëþ.
     Âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì íîðìèðîâêè, êîòîðîå óòâåðæäàåò, ÷òî ÷àñ-
òèöà ñ äîñòîâåðíîñòüþ, ðàâíîé åäèíèöå, îáÿçàòåëüíî íàõîäèòñÿ ãäå-òî â
îáëàñòè èçìåíåíèÿ åå êîîðäèíàò:

                                ∫Ψ       dx = 1 .
                                     2



      íàøåé çàäà÷å ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ïðåäåëàõ ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, îò
ñòåíêè ñ êîîðäèíàòîé õ=0 äî ñòåíêè ñ êîîðäèíàòîé õ=à, ïîýòîìó óñëîâèå
íîðìèðîâêè çàïèøåòñÿ òàê:


                                         62