Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

60
16.2. ×àñòèöà â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå
Ïîòåíöèàëüíîé ÿìîé íàçûâàåòñÿ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì
ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ÷àñòèöà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêèíóòü ýòó îáëàñòü, ÷àñ-
òèöå äîëæíà áûòü ñîîáùåíà äîáàâî÷íàÿ ýíåðãèÿ. Åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà
áåñêîíå÷íî ãëóáîêàÿ (èëè å¸ ñòåíêè áåñêîíå÷íî âûñîêèå), òî ÷àñòèöà íè-
êîãäà íå ñìîæåò ïîêèíóòü ýòó ÿìó. Âíóòðè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ÷àñòèöà
äâèæåòñÿ êàê ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà, òàê êàê òàì îíà îáëàäàåò òîëüêî êèíå-
òè÷åñêîé ýíåðãèåé.
 ôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ ñòåíêè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ñîçäàþòñÿ òåìè
ñèëàìè, êîòîðûå óäåðæèâàþò ÷àñòèöó â ÿìå. Íàïðèìåð, ýëåêòðîíû â àòî-
ìå óäåðæèâàþòñÿ êóëîíîâñêèì ïîëåì ÿäðà, ýëåêòðîíû àòîìà íàõîäÿòñÿ â
ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, êîòîðóþ ñ äîñòàòî÷íûì ïðèáëèæåíèåì ìîæíî ñ÷è-
òàòü áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé. Ïîäîáíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà âîçíèêàåò âíóò-
ðè ìåòàëëîâ áëàãîäàðÿ êóëîíîâñêîìó ïîëþ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ
èîíîâ. È òîëüêî îòäåëüíûì ýëåêòðîíàì, â ñèëó ôëóêòóàöèîííûõ ïðîöåñ-
ñîâ ïîëó÷èâøèõ äîáàâî÷íóþ ýíåðãèþ, óäàåòñÿ ïîêèíóòü îáëàñòü ìåòàëëà
(õîëîäíàÿ èëè òåðìîýìèññèÿ). Ïîíÿòèå ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ðàáîòàåò è â
äðóãèõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ: ïðè ðàññìîòðåíèè êîíòàêòíîé ðàçíîñòè ïî-
òåíöèàëîâ, ïîñòðîåíèè òåîðèè
α
-ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà è ò.ä. Áóäåì
ðåøàòü çàäà÷ó â ñèñòåìå îòñ÷åòà Ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà. Ñäåëàåì ðèñóíîê
Äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì
Øðåäèíãåðà:
.
2
2
Ψ=Ψ+∆Ψ−
EU
m
h
(16.6)
Óïðîñòèì äàëåå çàäà÷ó è áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîìåðíûé ñëó÷àé.
Åùå ðàç îòìåòèì, ÷òî âíóòðè ÿìû ÷àñòèöà äâèæåòñÿ êàê ñâîáîäíàÿ, òàê
êàê íà íå¸ âíóòðè ÿìû íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåð-
ãèÿ ÷àñòèöû ðàâíà íóëþ
.0=U
Óðàâíåíèå (16.6) ïðèíèìàåò âèä:
.0
2
22
2
=Ψ+
∂
Ψ∂
E
m
x h
(16.7)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
,
2
2
2
kE
m
=
h
ãäå êîýôôèöèåíò
k
èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è ïðè ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ
ñâîáîäíîé ÷àñòèöû - âîëíîâîå ÷èñëî. Óðàâíåíèå (16.7) ïðèíèìàåò âèä:
      16.2. ×àñòèöà â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå
      Ïîòåíöèàëüíîé ÿìîé íàçûâàåòñÿ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì
ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ÷àñòèöà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêèíóòü ýòó îáëàñòü, ÷àñ-
òèöå äîëæíà áûòü ñîîáùåíà äîáàâî÷íàÿ ýíåðãèÿ. Åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà
áåñêîíå÷íî ãëóáîêàÿ (èëè å¸ ñòåíêè áåñêîíå÷íî âûñîêèå), òî ÷àñòèöà íè-
êîãäà íå ñìîæåò ïîêèíóòü ýòó ÿìó. Âíóòðè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ÷àñòèöà
äâèæåòñÿ êàê ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà, òàê êàê òàì îíà îáëàäàåò òîëüêî êèíå-
òè÷åñêîé ýíåðãèåé.
       ôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ ñòåíêè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû “ñîçäàþòñÿ” òåìè
ñèëàìè, êîòîðûå óäåðæèâàþò ÷àñòèöó â ÿìå. Íàïðèìåð, ýëåêòðîíû â àòî-
ìå óäåðæèâàþòñÿ êóëîíîâñêèì ïîëåì ÿäðà, ýëåêòðîíû àòîìà íàõîäÿòñÿ â
ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, êîòîðóþ ñ äîñòàòî÷íûì ïðèáëèæåíèåì ìîæíî ñ÷è-
òàòü áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé. Ïîäîáíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà âîçíèêàåò âíóò-
ðè ìåòàëëîâ áëàãîäàðÿ êóëîíîâñêîìó ïîëþ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ
èîíîâ. È òîëüêî îòäåëüíûì ýëåêòðîíàì, â ñèëó ôëóêòóàöèîííûõ ïðîöåñ-
ñîâ ïîëó÷èâøèõ äîáàâî÷íóþ ýíåðãèþ, óäàåòñÿ ïîêèíóòü îáëàñòü ìåòàëëà
(õîëîäíàÿ èëè òåðìîýìèññèÿ). Ïîíÿòèå ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ðàáîòàåò è â
äðóãèõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ: ïðè ðàññìîòðåíèè êîíòàêòíîé ðàçíîñòè ïî-
òåíöèàëîâ, ïîñòðîåíèè òåîðèè α -ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà è ò.ä. Áóäåì
ðåøàòü çàäà÷ó â ñèñòåìå îòñ÷åòà “Ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà”. Ñäåëàåì ðèñóíîê
Äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì
Øðåäèíãåðà:
                     h2
                  −     ∆Ψ + UΨ = EΨ.                       (16.6)
                     2m
     Óïðîñòèì äàëåå çàäà÷ó è áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîìåðíûé ñëó÷àé.
Åùå ðàç îòìåòèì, ÷òî âíóòðè ÿìû ÷àñòèöà äâèæåòñÿ êàê ñâîáîäíàÿ, òàê
êàê íà íå¸ âíóòðè ÿìû íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåð-
ãèÿ ÷àñòèöû ðàâíà íóëþ U = 0. Óðàâíåíèå (16.6) ïðèíèìàåò âèä:
                  ∂ 2 Ψ 2m
                       + 2 EΨ = 0.                           (16.7)
                  ∂x 2   h
     Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
                             2m
                                E = k 2,
                             h2
ãäå êîýôôèöèåíò k èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è ïðè ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ
ñâîáîäíîé ÷àñòèöû - âîëíîâîå ÷èñëî. Óðàâíåíèå (16.7) ïðèíèìàåò âèä:



                                  60

Страницы