Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

58
Ãëàâà 3
16. ×àñòíûå ñëó÷àè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
ðàñïàäàåòñÿ íà ðåøåíèå âðåìåííîãî è êîîðäèíàòíîãî óðàâíåíèé. Âîëíî-
âàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ âðåìåííîìó óðàâíåíèþ, èíâàðèàíòíà äëÿ
âñåõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ çàäà÷. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âðåìåííîå óðàâíå-
íèå äîñòàòî÷íî ðåøèòü îäèí ðàç Êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå íåîáõîäèìî
ðåøàòü êàæäûé ðàç, åñëè èçìåíÿåòñÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè. Èòàê, â
íèæå ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷àõ ìû áóäåì ðåøàòü ëèøü êîîðäèíàòíîå óðàâ-
íåíèå Øðåäèíãåðà:
.
2
2
Ψ=Ψ+∆Ψ− EU
m
h
(16.1)
16.1. Äâèæåíèå ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
×àñòèöà íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé, åñëè íà íåå íå äåéñòâóþò âíåøíèå
ñèëû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî å¸ ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ
0
=
U
è òîãäà óðàâíå-
íèå (16.1) ïðèíèìàåò âèä:
.
2
2
Ψ=∆Ψ−
E
m
h
(16.2)
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîìåðíîå äâèæåíèå âäîëü îñè Îõ. Ïåðåïè-
øåì óðàâíåíèå òàê:
0
2
22
2
=Ψ+
∂
Ψ∂
h
mE
x
. (16.3)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
,
2
2
2
k
mE
=
h
òîãäà óðàâíåíèå (16.3) ïðèìåò âèä:
.0
2
2
2
=Ψ+
∂
Ψ∂
k
x
(16.4)
Âåëè÷èíà
k
íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì ÷èñëîì. Ýòî íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì,
÷òî êîýôôèöèåíò
k
íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàí ñ äëèíîé âîëíû äå-Áðîéëÿ:
                              Ãëàâà 3
    16. ×àñòíûå ñëó÷àè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà

      Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
ðàñïàäàåòñÿ íà ðåøåíèå âðåìåííîãî è êîîðäèíàòíîãî óðàâíåíèé. Âîëíî-
âàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ âðåìåííîìó óðàâíåíèþ, èíâàðèàíòíà äëÿ
âñåõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ çàäà÷. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âðåìåííîå óðàâíå-
íèå äîñòàòî÷íî ðåøèòü îäèí ðàç Êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå íåîáõîäèìî
ðåøàòü êàæäûé ðàç, åñëè èçìåíÿåòñÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè. Èòàê, â
íèæå ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷àõ ìû áóäåì ðåøàòü ëèøü êîîðäèíàòíîå óðàâ-
íåíèå Øðåäèíãåðà:
                   h2
                  −   ∆Ψ + UΨ = EΨ.                         (16.1)
                   2m
     16.1. Äâèæåíèå ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
     ×àñòèöà íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé, åñëè íà íåå íå äåéñòâóþò âíåøíèå
ñèëû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî å¸ ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ U = 0 è òîãäà óðàâíå-
íèå (16.1) ïðèíèìàåò âèä:
                   h2
                  −   ∆Ψ = EΨ.                             (16.2)
                   2m
     Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîìåðíîå äâèæåíèå âäîëü îñè Îõ. Ïåðåïè-
øåì óðàâíåíèå òàê:
                         ∂ 2 Ψ 2mE
                              + 2 Ψ =0.                         (16.3)
                         ∂x 2   h
                           2mE
     Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:       = k 2 , òîãäà óðàâíåíèå (16.3) ïðèìåò âèä:
                            h2
                   ∂ 2Ψ
                        + k 2 Ψ = 0.                            (16.4)
                   ∂x 2


     Âåëè÷èíà k íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì ÷èñëîì. Ýòî íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì,
÷òî êîýôôèöèåíò k íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàí ñ äëèíîé âîëíû äå-Áðîéëÿ:


                                       58

Страницы