Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

56
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
Ψ∂
∂
∂
=
∂
Ψ∂
2
2
2
2
x
S
e
x
S
x
Si
e
i
A
x
Si
Ae
xxxx
S
i
S
i
S
i
hhh
hhh
=
.
1
2
2
2
2
x
S
e
i
A
x
S
eA
S
i
S
i
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅−
hh
h
h
Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ïðèâåäåì ïîäîáíûå ÷ëåíû è ñî-
êðàòèì íà îáùèé ìíîæèòåëü, ïîëó÷àåì:
.
22
1
2
2
2
U
x
S
m
i
x
S
mt
S
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
h
(15.13)
Ñåé÷àñ ìû èìååì âîçìîæíîñòü ñîâåðøèòü ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, óñò-
ðåìèâ
:o→h
.0
2
1
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
U
t
S
x
S
m
(15.14)
Ìû ïîëó÷èëè ÷èñòî êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå, â êëàññè÷åñêîé ìåõà-
íèêå îíî ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ è íîñèò èìÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòî-
íà-ßêîáè.  îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ îíî óïðîùàåòñÿ. Íàïðèìåð, åñëè çàäà÷à
ñòàöèîíàðíà, òî âòîðîãî ñëàãàåìîãî íå áóäåò.  ñëó÷àå, êîãäà ñêîðîñòü
èçìåíåíèÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèè äåéñòâèÿ
x
S
∂
∂
çíà÷èòåëüíî ìåíüøå âåëè÷è-
íû
t
S
∂
∂
, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïåðâûì ñëàãàåìûì â (15.14).
Ïðîàíàëèçèðóåì, â êàêèõ ñëó÷àÿõ ìû èìåëè ïðàâî îòáðîñèòü â (15.13)
÷ëåí
2
2
2
x
S
m
i
∂
∂h
. Ôîðìàëüíî ýòîò ÷ëåí ïîëó÷àåòñÿ èç òîãî ñëàãàåìîãî â
óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.
Íî ïðè ýòîì ìû îñòàâëÿåì â óðàâíåíèè (15.14)
22
)(
2
1
)(
2
1
Sgrad
mx
S
m
x
=
∂
∂
,
êîòîðûé òàêæå ñâÿçàí ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, íàøè
äåéñòâèÿ áóäóò îïðàâäàíû, åñëè â îäíîìåðíîì ñëó÷àå
.
2
2
2
∂
∂
<<
∂
∂
x
S
x
S
h
       ∂ 2 Ψ ∂ ∂Ψ ∂  h S i ∂S              i  h S i ∂S ∂S         S ∂ S
                              i                    i               i     2
             =      =     Ae   ⋅       = A    e   ⋅     ⋅   + e h
                                                                      ⋅      =
       ∂x  2
               ∂x ∂x ∂x              
                                  h ∂x      h        h ∂x ∂x          ∂x 2 

                       1 S  ∂S     i S ∂2S
                                    i           2        i

                 = − A 2 eh ⋅  + A eh ⋅ 2 .
                      h       ∂x   h     ∂x
     Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ïðèâåäåì ïîäîáíûå ÷ëåíû è ñî-
êðàòèì íà îáùèé ìíîæèòåëü, ïîëó÷àåì:
                          ∂S   1  ∂S  ih ∂ 2 S
                                           2

                      −      =     −           + U.                    (15.13)
                          ∂t 2m  ∂x   2m ∂x 2
    Ñåé÷àñ ìû èìååì âîçìîæíîñòü ñîâåðøèòü ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, óñò-
ðåìèâ h → o :
                                2
                       1  ∂S  ∂S
                           +     + U = 0.                              (15.14)
                      2m  ∂x  ∂t
     Ìû ïîëó÷èëè ÷èñòî êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå, â êëàññè÷åñêîé ìåõà-
íèêå îíî ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ è íîñèò èìÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòî-
íà-ßêîáè.  îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ îíî óïðîùàåòñÿ. Íàïðèìåð, åñëè çàäà÷à
ñòàöèîíàðíà, òî âòîðîãî ñëàãàåìîãî íå áóäåò.  ñëó÷àå, êîãäà ñêîðîñòü
                                                    ∂S
èçìåíåíèÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèè äåéñòâèÿ                   çíà÷èòåëüíî ìåíüøå âåëè÷è-
                                                    ∂x
     ∂S
íû      , ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïåðâûì ñëàãàåìûì â (15.14).
     ∂t
      Ïðîàíàëèçèðóåì, â êàêèõ ñëó÷àÿõ ìû èìåëè ïðàâî îòáðîñèòü â (15.13)
      ih ∂ 2 S
÷ëåí           . Ôîðìàëüíî ýòîò ÷ëåí ïîëó÷àåòñÿ èç òîãî ñëàãàåìîãî â
      2 m ∂x 2
óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.
Íî ïðè ýòîì ìû îñòàâëÿåì â óðàâíåíèè (15.14)
                       1 ∂S 2      1
                          ( ) =      ( grad x S ) 2 ,
                      2 m ∂x      2m
êîòîðûé òàêæå ñâÿçàí ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, íàøè
äåéñòâèÿ áóäóò îïðàâäàíû, åñëè â îäíîìåðíîì ñëó÷àå

                                        ∂2S      ∂S 
                                                     2

                                    h        <<   .
                                        ∂x 2     ∂x 

                                               56

Страницы