Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

55
íèþ Øðåäèíãåðà:
Ψ+∆Ψ−=Ψ
∂
∂
U
mt
i
2
2
h
h
Åñëè ñëåäîâàòü óñòàíîâëåííîìó ðåöåïòó äëÿ âûïîëíåíèÿ ïðèíöèïà
ñîîòâåòñòâèÿ, òî èñ÷åçàþò äâà ÷ëåíà â ýòîì óðàâíåíèè è îñòàâøååñÿ ðà-
âåíñòâî íå èìååò ðàçóìíîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà:
0=ΨU
.
Ê òàêîìó æå ðåçóëüòàòó ìû ïðèäåì, åñëè ðàññìîòðèì ëèøü ÷àñòíûé
âèä óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà:
Ψ=Ψ
∂
∂
E
t
ih
.
 òàêèõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðÿìîé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä íåâîçìîæåí (îí
ïðèâîäèò ê àáñóðäó), íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî ïðîâåñòè íåêîòîðûå
ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ðàññìàòðèâàåìûì âûðàæåíèåì.
Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà:
Ψ+∆Ψ−=Ψ
∂
∂
U
mt
i
2
2
h
h
.
Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ïðåäñòàâëåíèåì âîëíîâîé ôóíêöèè:
S
i
A
h
exp=Ψ
,
ãäå ôóíêöèÿ
S
èìååò ðàçìåðíîñòü Äæ- ñ (êàê è ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà) è íà-
çûâàåòñÿ ôóíêöèåé äåéñòâèÿ, îíà çàâèñèò îò òåõ æå ïåðåìåííûõ, ÷òî è
ñàìà ôóíêöèÿ
Ψ
.
Äëÿ óïðîùåíèÿ çàäà÷è áóäåì ðàññìàòðèàòü îäíîìåðíûé ñëó÷àé.
Ñîñòàâèì âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà:
()
;
,
S
t
i
AeAe
tt
S
i
txS
i
∂
∂
⋅=
∂
∂
=Ψ
∂
∂
h
hh
;S
x
i
AeAe
xx
S
i
S
i
∂
∂
⋅=
∂
∂
=Ψ
∂
∂
h
hh
Äàëåå ñîñòàâèì âòîðóþ ïðîèçâîäíþ ïî êîîðäèíàòå:
íèþ Øðåäèíãåðà:
                          ∂       h2
                        ih   Ψ=−     ∆Ψ + UΨ
                          ∂t      2m
     Åñëè ñëåäîâàòü óñòàíîâëåííîìó ðåöåïòó äëÿ âûïîëíåíèÿ ïðèíöèïà
ñîîòâåòñòâèÿ, òî èñ÷åçàþò äâà ÷ëåíà â ýòîì óðàâíåíèè è îñòàâøååñÿ ðà-
âåíñòâî íå èìååò ðàçóìíîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà:
                               UΨ = 0 .
     Ê òàêîìó æå ðåçóëüòàòó ìû ïðèäåì, åñëè ðàññìîòðèì ëèøü ÷àñòíûé
âèä óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà:
                               ∂
                              ih  Ψ = EΨ .
                               ∂t
      òàêèõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðÿìîé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä íåâîçìîæåí (îí
ïðèâîäèò ê àáñóðäó), íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî ïðîâåñòè íåêîòîðûå
ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ðàññìàòðèâàåìûì âûðàæåíèåì.
     Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà:
                        ∂      h2
                       ih  Ψ=−    ∆Ψ + UΨ .
                        ∂t     2m
     Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ïðåäñòàâëåíèåì âîëíîâîé ôóíêöèè:
                                        i
                               Ψ = A exp S ,
                                        h
ãäå ôóíêöèÿ S èìååò ðàçìåðíîñòü Äæ- ñ (êàê è ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà) è íà-
çûâàåòñÿ ôóíêöèåé äåéñòâèÿ, îíà çàâèñèò îò òåõ æå ïåðåìåííûõ, ÷òî è
ñàìà ôóíêöèÿ Ψ .
     Äëÿ óïðîùåíèÿ çàäà÷è áóäåì ðàññìàòðèàòü îäíîìåðíûé ñëó÷àé.
Ñîñòàâèì âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà:
                                S (x , t )
                                   i                i
                    ∂     ∂                      S i ∂
                       Ψ = Ae h            = Ae h ⋅      S;
                    ∂t    ∂t                        h ∂t


                     ∂     ∂           S i ∂
                                       i        i
                                S
                        Ψ = Ae h = Ae h ⋅      S;
                     ∂x    ∂x             h ∂x
     Äàëåå ñîñòàâèì âòîðóþ ïðîèçâîäíþ ïî êîîðäèíàòå:




                                           55

Страницы