Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 61 стр.

                     ∂ 2Ψ
                          + k 2Ψ = 0 .                              (16.8)
                     ∂x 2
     Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (16.8), ñ êîòîðûì ìû èìåëè äåëî â ïðåäûäóùåé
çàäà÷å î äâèæåíèè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà:
             Ψ = A sin kx + B cos kx,                 (16.9)
÷òî ëåãêî ïðîâåðèòü ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé. Ñäåëàåì ýòî äëÿ îäíîé ÷àñòè
ðåøåíèÿ. Ñîñòàâèì ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (16.8):
               ∂Ψ                         ∂ 2Ψ
                  = − Bk sin kx;               = − Bk 2 cos kx.
               ∂x                         ∂x 2
     Ñîñòàâèì óðàâíåíèå (16.8):
                  − Bk 2 cos kx + k 2 B cos kx = 0 èëè 0=0.
      Ìû ïîëó÷èëè òîæäåñòâî, ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåííîå íàìè ðåøåíèå
(16.9) äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò èñõîäíîìó óðàâíåíèþ (16.8). Òàê êàê
óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî
ïîðÿäêà, òî åãî ðåøåíèå (16.9) äîëæíî ñîäåðæàòü äâå ïîñòîÿííûå èíòåãðè-
ðîâàíèÿ. Ðåøåíèå â ôîðìå (16.9) çàïèñàíî ñ ó÷åòîì ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè.
Îíî ñîñòàâëåíî èç äâóõ ðåøåíèé èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
      Îòìåòèì åùå ðàç: ÷àñòèöà äâèæåòñÿ êàê ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà ëèøü â
ïðåäåëàõ ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, îò ñòåíêè äî ñòåíêè. Òåïåðü ó÷òåì íàëè÷èå
ñòåíîê ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è ñòåíêè áåñêîíå÷íî âûñî-
êèå (èëè ÿìà áåñêîíå÷íî ãëóáîêàÿ), ïîýòîìó çà ïðåäåëàìè ÿìû ÷àñòèöà
íàõîäèòñÿ íå ìîæåò, âåðîÿòíîñòü åå îáíàðóæåíèÿ âíå ÿìû ðàâíà íóëþ.
Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
              Ψ( x ) = 0 ïðè x ≤ 0, x ≤ a.                       (16.10)
      Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ÷òîáû îïðåäåëèòü ïî-
ñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ À è Â â ðåøåíèè (16.9). Ïóñòü õ=0, òîãäà
              Ψ (0) = 0 = A sin (k ⋅ 0) + B cos(k ⋅ 0).(16.11)
     Òàê êàê ïåðâîå ñëàãàåìîå àâòîìàòè÷åñêè ðàâíî íóëþ, òî äëÿ âûïîë-
íåíèÿ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ Ψ (0) = 0 íåîáõîäèìî, ÷òîáû âòîðîå ñëàãàåìîå
â (16.11) ðàâíÿëîñü íóëþ. À òàê êàê cos(k ⋅ 0 ) = 1 , òî êîýôôèöèåíò Â äîëæåí
ðàâíÿòüñÿ íóëþ: Â=0. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è ïðèíèìàåò
âèä: Ψ ( x ) = A sin kx.
     Âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì: Ψ ( a ) = 0 , èëè
Ψ (a ) = A sin ka = 0. Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî, òàê êàê À ≠ 0 , sin ka = 0. Èç

                                       61