Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

96
Ãëàâà 5
26. Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå
(ìåòîä ÂÊÁ - Âåíòöåëÿ-Êðàìåðñà-Áðèëëþýíà)
Íå âñå çàäà÷è êâàíòîâîé ìåõàíèêè ðåøàþòñÿ òî÷íî. Ñóùåñòâóåò
íåñêîëüêî ðàçíûõ ìåòîäîâ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷. Îäíèì èç íèõ
ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ÂÊÁ. Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå
ðåøåíèÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ
â ïîëå ïðîèçâîëüíîé ôîðìû:
()
.0
2
22
2
=Ψ−+
Ψ
UE
m
dx
d
h
(26.1)
 êà÷åñòâå ïðîáíîé ôóíêöèè âîçüìåì ôóíêöèþ âèäà:
),exp(
h
S
i=Ψ
ãäå S ôóíêöèÿ äåéñòâèÿ, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü ïîñòîÿííîé Ïëàíêà  Äæ.ñ
è ÿâëÿþùàÿñÿ ôóíêöèåé ìàëîé âåëè÷èíû
h
- ÷òî ïîçâîëèò íàì â ïîñëåäó-
þùåì ðàçëîæèòü ýòó ôóíêöèþ äåéñòâèÿ â ðÿä ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó
.h
Ñîñòàâèì ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (26.1):
.
11
2
22
2
22
2
2
2
−=
−
=
=
=
=
Ψ
dx
dS
e
dx
Sd
e
i
dx
dS
e
dx
dS
e
dx
Sdi
dx
dS
e
i
dx
d
e
dx
d
dx
d
dx
d
S
i
S
i
S
i
S
i
S
i
S
i
hhhh
hh
h
h
h
h
h
Ïîñëå óìíîæåíèÿ âñåõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ íà
2
h
è ñîêðàùåíèÿ íà
ýêñïîíåíòó, ïîëó÷àåì:
hi
()
02'''
2
=−+−
UEmSS
(26.2)
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå ðÿäà ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó
h
. Îãðàíè-
÷èìñÿ ïåðâûìè äâóìÿ ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ:
                                      Ãëàâà 5

            26. Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå
        (ìåòîä ÂÊÁ - Âåíòöåëÿ-Êðàìåðñà-Áðèëëþýíà)

      Íå âñå çàäà÷è êâàíòîâîé ìåõàíèêè ðåøàþòñÿ òî÷íî. Ñóùåñòâóåò
íåñêîëüêî ðàçíûõ ìåòîäîâ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷. Îäíèì èç íèõ
ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ÂÊÁ. Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå
ðåøåíèÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ
â ïîëå ïðîèçâîëüíîé ôîðìû:
                         d 2 Ψ 2m
                              + 2 (E − U )Ψ = 0.                           (26.1)
                         dx 2  h
      êà÷åñòâå ïðîáíîé ôóíêöèè âîçüìåì ôóíêöèþ âèäà:
                                      S
                             Ψ = exp(i ),
                                      h
ãäå S –ôóíêöèÿ äåéñòâèÿ, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü ïîñòîÿííîé Ïëàíêà – Äæ.ñ
è ÿâëÿþùàÿñÿ ôóíêöèåé ìàëîé âåëè÷èíû h - ÷òî ïîçâîëèò íàì â ïîñëåäó-
þùåì ðàçëîæèòü ýòó ôóíêöèþ äåéñòâèÿ â ðÿä ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó h.
    Ñîñòàâèì ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (26.1):

       d 2 Ψ d  d i h  d  i i h dS 
                          S            S
             =          e     =      e           =
       dx 2 dx  dx         dx  h
                                
                                           dx 
                                               
               i  d 2 S i  1  dS  i h  dS  i i h d 2 S 1 i h  dS 
                          S                 S              S              S        2
            =  2 e h  − 2           e          = e        −     e        .
              h  dx         h  dx         dx  h      dx 2
                                                                    h 2
                                                                             dx 
                                                  

     Ïîñëå óìíîæåíèÿ âñåõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ íà                  h 2 è ñîêðàùåíèÿ íà
ýêñïîíåíòó, ïîëó÷àåì:
                             ih S ' '− S ' 2 +2m(E − U ) = 0               (26.2)
     Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå ðÿäà ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó              h . Îãðàíè-
÷èìñÿ ïåðâûìè äâóìÿ ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ:

                                         96

Страницы