Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

97
.
1
SSS
o
h+≈
(26.3)
Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå ïî êîîðäèíàòå
:
'
'
'
S
è
S
.;
1010
SSSSSS
′′
+
′′
=
′′′
+
′
=
′
hh
Óðàâíåíèå (26.2) ïðèíèìàåò âèä:
()
.02'''2'''''
2
1
2
10
0
2
1
2
0
=−+−−−+
UEmSSSSSiSi hhhh
Îáúåäèíèì ÷ëåíû îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè:
()( )
( )
.0''''''2''2
0
2
1
2
1
2
100
=−−+−+−
SSiSSSiSUEm hh
Ïðåíåáðåæåì ïðåäïîñëåäíèì ÷ëåíîì, òàê êàê îí èìååò âòîðîé ïîðÿ-
äîê ìàëîñòè. Îñòàâøååñÿ âûðàæåíèå âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè
ðàâíû íóëþ êîýôôèöèåíòû ïðè ïàðàìåòðå â ëþáîé ñòåïåíè:
()
.0''2''
,0'2
100
0
2
=−
=−−
SSiS
SUEm
Èç ïåðâîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àåì:
()
.2'
0
UEmS
−±=
Íî
()
UEm
−
2
åñòü êëàññè÷åñêèé èìïóëüñ p. Òîãäà
∫
±=⇒±=
∂
∂
2
1
.,
'
0
0
x
x
pdxSp
x
S
Âòîðîå óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü òàê:
.ln
2
'ln
2
','ln
2'
''
2
'
010
0
0
1
p
i
S
i
SS
dx
di
S
S
i
S ==⇒=⋅=
Èòàê,
∫
+±=
2
1
.ln
x
x
pipdxS
h
Ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè äåéñòâèÿ, êîòîðîå ñòîèò â
ïîêàçàòåëå ñòåïåíè âîëíîâîé ôóíêöèè. Çàïèøåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ, ïîä-
ñòàâèâ çíà÷åíèå ôóíêöèè äåéñòâèÿ:
                                  S ≈ S o + hS1 .                                         (26.3)
     Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå ïî êîîðäèíàòå S ' è                               S ' ':
                          S ′ = S 0′ + hS1′ ; S ′′ = S 0′′ + hS1′′.
     Óðàâíåíèå (26.2) ïðèíèìàåò âèä:
             ihS 0 ' ' + ih 2 S1 ' '− S '2 0 −2hS '0 S '1 −h 2 S1 '2 +2m(E − U ) = 0.

     Îáúåäèíèì ÷ëåíû îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè:
                                                          (             )
             2m(E − U ) + h(iS ' '0 −2 S '0 S '1 ) + h 2 iS1 ' '− S ' 21 − S ' 2 0 = 0.

     Ïðåíåáðåæåì ïðåäïîñëåäíèì ÷ëåíîì, òàê êàê îí èìååò âòîðîé ïîðÿ-
äîê ìàëîñòè. Îñòàâøååñÿ âûðàæåíèå âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè
ðàâíû íóëþ êîýôôèöèåíòû ïðè ïàðàìåòðå â ëþáîé ñòåïåíè:
                                     2m(E − U ) − S '2 0 = 0,
                                     iS ' '0 −2S '0 S '1 = 0.
     Èç ïåðâîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àåì:
                                   S '0 = ± 2m(E − U ).
     Íî   2m (E − U ) åñòü êëàññè÷åñêèé èìïóëüñ p. Òîãäà

                                 ∂S 0 '                   2x
                                        = ± p, ⇒ S 0 = ± ∫ pdx.
                                  ∂x                     x    1




     Âòîðîå óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü òàê:
                          i S0 '' i d                    i         i
                 S '1 =    ⋅     =     ln S '0 , ⇒ S1 ' = ln S '0 = ln p.
                          2 S 0 ' 2 dx                   2         2
     Èòàê,
                                          x2

                                  S = ± ∫ pdx + ih ln p .
                                          x1

     Ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè äåéñòâèÿ, êîòîðîå ñòîèò â
ïîêàçàòåëå ñòåïåíè âîëíîâîé ôóíêöèè. Çàïèøåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ, ïîä-
ñòàâèâ çíà÷åíèå ôóíêöèè äåéñòâèÿ:




                                                97

Страницы