Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 99 стр.

èõ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ â ðÿäû ïî ïîëíîé ñèñòåìå ñîáñòâåí-
íûõ ôóíêöèé    un îïåðàòîðà L̂ :
                          u = ∑ anun       è    v = ∑ bn u n .
     Ïîäñòàâèì ýòè ðàçëîæåíèÿ â (27.2):


             ∑a u n n   = Mˆ ∑ bn un     èëè     ∑a u  n n    = ∑ bn Mˆ un .


     Óìíîæèì îáå ñòîðîíû íà              u k* è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåé îáëàñòè
èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
                              a k = ∑ bn ∫ u k Mˆ u n d τ .
                                              *

                                     n


     Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: M kn = ∫ u k Mˆ u n dτ , òîãäà äëÿ êîýôôèöèåíòà
                                     *
                                                                                        ak
ïîëó÷èì:
                              ak = ∑ bn M kn .                                 (27.3)
                                     n

     Ôîðìóëà            (27.3)      îïðåäåëÿåò          τ ïåðåõîä îò ôóíêöèè
v, äàííîé â L − ïðåäñòàâëåíèè ê ôóíêöèè u, òàêæå äàííîé â L - ïðåä-
ñòàâëåíèè. Ýòîò ïåðåõîä îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ                       M kn .
Ñîâîêóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ           M kn çàäàåò îïåðàòîð M̂ â L − ïðåäñòàâ-
ëåíèè. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
òàáëèöû, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé, à êîýôôèöèåíòû                      M kn - ýëåìåí-
òàìè ìàòðèöû.
     Î÷åíü âàæåí ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ñîñòàâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå
îïåðàòîðà   L̂ â åãî ñîáñòâåííîì L − ïðåäñòàâëåíèè, êîãäà â êà÷åñòâå
ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé áåðóòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà                      L̂.
     Ñîñòàâèì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà                    L̂ â L − ïðåäñòàâëåíèè:
      Lkn = ∫ u k Lˆ u n dτ = Ln ∫ u k u n dτ = Lnδ kn ,
                 *                    *
                                                                               (27.4)

ò.å. îòëè÷íûìè îò íóëÿ áóäóò ëèøü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ñ k                   = n, êîòîðûå

                                           99