Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

100
ðàñïîëîæåíû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ìàòðèöû
.
kn
L
Èòàê, ìàòðèöà îïåðà-
òîðà â åãî ñîáñòâåííîì ïðåäñòàâëåíèè (ò.å. êîãäà â êà÷åñòâå ïîëíîé îðòî-
ãîíàëüíîé ñèñòåìû ôóíêöèé áåðóòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ýòîãî îïåðàòî-
ðà) èìååò äèàãîíàëüíûé âèä, îòëè÷íûìè îò íóëÿ ÿâëÿþòñÿ ëèøü ýëåìåíòû,
ñòîÿùèå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ïðè ýòîì íà äèàãîíàëè ñòîÿò åãî ñîá-
ñòâåííûå çíà÷åíèÿ.
Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.
Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå,
êîãäà â êà÷åñòâå ïîëíîé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âûáèðàþòñÿ ðå-
øåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Åñëè âûáèðàåòñÿ èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëå-
íèå, òî â êà÷åñòâå ïîëíîé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âûáèðàþòñÿ ñîá-
ñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà èìïóëüñà, ò.å. ïëîñêèå âîëíû.
28. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â ìàòðè÷íîé ôîðìå
Ïóñòü ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà
L
ˆ
, ñîîòâåòñòâóþùåãî
íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíå
L
, áóäóò ôóíêöèè
).(xu
n
Ðàçëîæèì ôóí-
êöèþ
),( txΨ
â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà
:
ˆ
L
.)()(),(
∑
=Ψ
n
nn
xutCtx
(28.1)
Ïîäñòàâèì ýòî ðàçëîæåíèå â ïîëíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà
∑∑
=
∂
∂
Ψ=
∂
Ψ∂
nn
nnn
xutCHxutC
t
iH
t
i
)()(
ˆ
)()(:
ˆ
hh
. (28.2)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíîé ïî
âðåìåíè, ìîæíî ñïðàâà ïîñòàâèòü ôóíêöèþ
)(tC
n
ïåðåä îïåðàòîðîì Ãà-
ìèëüòîíà. Ïðîèçâîäÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ñëåâà â (28.2), ïî-
ëó÷àåì:
∑∑
=
n
nn
n
n
n
xuHtC
dt
tdC
xui
).(
ˆ
)(
)(
)(h
(28.3)
ðàñïîëîæåíû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ìàòðèöû Lkn . Èòàê, ìàòðèöà îïåðà-
òîðà â åãî ñîáñòâåííîì ïðåäñòàâëåíèè (ò.å. êîãäà â êà÷åñòâå ïîëíîé îðòî-
ãîíàëüíîé ñèñòåìû ôóíêöèé áåðóòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ýòîãî îïåðàòî-
ðà) èìååò äèàãîíàëüíûé âèä, îòëè÷íûìè îò íóëÿ ÿâëÿþòñÿ ëèøü ýëåìåíòû,
ñòîÿùèå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ïðè ýòîì íà äèàãîíàëè ñòîÿò åãî ñîá-
ñòâåííûå çíà÷åíèÿ.
      Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.
      Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå,
êîãäà â êà÷åñòâå ïîëíîé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âûáèðàþòñÿ ðå-
øåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Åñëè âûáèðàåòñÿ èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëå-
íèå, òî â êà÷åñòâå ïîëíîé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âûáèðàþòñÿ ñîá-
ñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà èìïóëüñà, ò.å. ïëîñêèå âîëíû.


         28. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â ìàòðè÷íîé ôîðìå

       Ïóñòü ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà                         L̂ , ñîîòâåòñòâóþùåãî
íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíå                L , áóäóò ôóíêöèè un (x ). Ðàçëîæèì ôóí-
êöèþ Ψ ( x, t ) â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà                      L̂ :

                        Ψ ( x, t ) = ∑ C n (t )un ( x ).                            (28.1)
                                        n

       Ïîäñòàâèì ýòî ðàçëîæåíèå â ïîëíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà
       ∂Ψ             ∂
  ih       = Hˆ Ψ : ih ∑ C n (t )un ( x ) = Hˆ ∑ C n (t )u ( x ) .                  (28.2)
        ∂t            ∂t n                     n

       Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíîé ïî
âðåìåíè, ìîæíî ñïðàâà ïîñòàâèòü ôóíêöèþ                      C n (t ) ïåðåä îïåðàòîðîì Ãà-
ìèëüòîíà. Ïðîèçâîäÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ñëåâà â (28.2), ïî-
ëó÷àåì:
                                dC n (t )
               ih ∑ u n ( x )             = ∑ C n (t ) Hˆ un ( x ).                 (28.3)
                   n              dt        n




                                                100

Страницы