Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

102
Ïîýòîìó ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çà-
äà÷, ò.å. íàõîäèòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íå òî÷íî,
à ïðèáëèæåííî. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûì ìåòîäîì ïðèáëèæåííûõ
âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä òåîðèè âîçìóùåíèé.
Ðàññìîòðèì ñóòü ýòîãî ìåòîäà. Ïóñòü îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà
H
ˆ
ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ îïåðàòîðîâ:
,
ˆˆˆ
0
VHH +=
(29.1)
ïðè÷åì èçâåñòíî òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ Ãàìèëüòîíèàíà
,
ˆ
0
H
ò.å. èç-
âåñòíû ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óðàâíåíèÿ:
.
ˆ
000
0
Ψ=Ψ EH
(29.2)
Òàê êàê îïåðàòîð
V
ˆ
íå ðàâåí íóëþ, òî íàì íåîáõîäèìî ðåøèòü
óðàâíåíèå:
.)
ˆˆ
(
0
Ψ=Ψ+ EVH
(29.3)
Òåîðèÿ âîçìóùåíèé ïðèìåíÿåòñÿ òîãäà, êîãäà âîçìóùåíèå
V
ˆ
ñ÷èòàåòñÿ ìàëûì. Êðèòåðèé ìàëîñòè óñòàíîâèì íèæå.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà
H
ˆ
ÿâ-
ëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûìè è ãàìèëüòîíèàí
H
ˆ
íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Áó-
äåì èñêàòü òàêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå
ïðè
0
ˆ
=V
ïåðåõîäÿò â ñîáñòâåííûå ôóíêöèè
0
Ψ
è ñîáñòâåííûå çíà÷å-
íèÿ íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà
0
E
.
Îáîçíà÷èì ýòè èñêîìûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷å-
íèÿ ÷åðåç
.
mm
E
èΨ
Ðàçëîæèì èñêîìóþ ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ
m
Ψ ïî ñîá-
ñòâåííûì ôóíêöèÿì
0
n
Ψ
íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà
0
ˆ
H
:
.
0
∑
Ψ=Ψ
n
nnm
C
(29.4)
Ïîäñòàâèì ýòî ðàçëîæåíèå â óðàâíåíèå (29.3):
.
ˆ
)
ˆ
(
00
0
∑∑
Ψ=Ψ−
nnnnm
CVCHE
Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà
•
Ψ
0
k
è ïðîèíòåãðèðóåì ïî
Ïîýòîìó ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çà-
äà÷, ò.å. íàõîäèòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íå òî÷íî,
à ïðèáëèæåííî. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûì ìåòîäîì ïðèáëèæåííûõ
âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä òåîðèè âîçìóùåíèé.
     Ðàññìîòðèì ñóòü ýòîãî ìåòîäà. Ïóñòü îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà Ĥ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ îïåðàòîðîâ:
                   Hˆ = Hˆ 0 + Vˆ ,                                           (29.1)

ïðè÷åì èçâåñòíî òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ Ãàìèëüòîíèàíà                   Hˆ 0 , ò.å. èç-
âåñòíû ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óðàâíåíèÿ:
                   Hˆ 0 Ψ 0 = E 0 Ψ 0 .                                       (29.2)

     Òàê êàê îïåðàòîð     Vˆ íå ðàâåí íóëþ, òî íàì íåîáõîäèìî ðåøèòü
óðàâíåíèå:
                   ( Hˆ 0 + Vˆ )Ψ = EΨ.                                       (29.3)

     Òåîðèÿ âîçìóùåíèé ïðèìåíÿåòñÿ òîãäà, êîãäà “âîçìóùåíèå”                           Vˆ
ñ÷èòàåòñÿ ìàëûì. Êðèòåðèé “ìàëîñòè” óñòàíîâèì íèæå.
     Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà                   Ĥ ÿâ-
ëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûìè è ãàìèëüòîíèàí Ĥ íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Áó-
äåì èñêàòü òàêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå
ïðè Vˆ = 0 ïåðåõîäÿò â ñîáñòâåííûå ôóíêöèè              Ψ0       è ñîáñòâåííûå çíà÷å-
íèÿ íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà            E0 .
     Îáîçíà÷èì ýòè èñêîìûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷å-
íèÿ ÷åðåç Ψm è E m . Ðàçëîæèì èñêîìóþ ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ                 Ψm ïî ñîá-
                    Ψn íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà Ĥ 0 :
                      0
ñòâåííûì ôóíêöèÿì

                   Ψm = ∑ Cn Ψn .
                                        0
                                                                              (29.4)
                           n

     Ïîäñòàâèì ýòî ðàçëîæåíèå â óðàâíåíèå (29.3):
                      ∑ (E         − Hˆ 0 )C n Ψn = ∑VˆCn Ψn .
                                                 0          0
                               m



     Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà Ψk 0• è ïðîèíòåãðèðóåì ïî

                                            102

Страницы