Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

101
Óìíîæèì (28.3) íà
)(
*
xu
m
è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåì çíà÷åíèÿì ïåðå-
ìåííîé õ. Â ñèëó îðòîíîðìèðîâàííîñòè ôóíêöèé
)(xu
n
ñëåâà îñòàíåòñÿ
ëèøü îäèí ÷ëåí ñ íîìåðîì n=m.
Èòàê, âìåñòî (28.3) ïîëó÷àåì:
∑
=
),(
)(
tCH
dt
tdC
i
nmn
n
h
(28.4)
ãäå
∫
==
....2,1,)(
ˆ
)(
*
mdxuHxuH
nmmn
τ
Óðàâíåíèå (28.4) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà â ìàòðè÷íîì
ïðåäñòàâëåíèè.
Ïðèìåíèì óðàâíåíèå Q (28.4) äëÿ ðåøåíèÿ ïðîñòåéøåé çàäà÷è, êîã-
äà âíåøíèå ïîëÿ, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöó, íå çàâèñÿò îò âðåìåíè - ñëó÷àé
ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû. Âîñïîëüçóåìñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì, èëè
Åïðåäñòàâëåíèåì, áàçèñîì êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïå-
ðàòîðà Ãàìèëüòîíà, íå çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè. Òîãäà
∫∫
===
mnnn
m
nn
m
mn
EduuEduHuH
δττ
**
ˆ
è óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä:
).(
)(
tCE
dt
tdC
i
nn
n
=
h
(28.5)
Ïîñêîëüêó ConstE
n
= , òî óðàâíåíèå (28.5) ðåøàåòñÿ ýëåìåíòàðíî:
)(
)0()(
tE
i
nn
n
eCt
Ñ
h
−
=
è âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
∑∑
−
==Ψ
,)()0(),(
)(
Et
i
nnnn
exuCuCtx
h
(28.6)
÷òî óæå áûëî íàìè ïîëó÷åíî ðàíåå.
29. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèåì, ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ êîòîðîãî çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè è îò ÷èñëà èçìåðåíèé ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì ðåøàåòñÿ çàäà÷à.
                                   *
      Óìíîæèì (28.3) íà u m ( x ) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåì çíà÷åíèÿì ïåðå-

ìåííîé õ. Â ñèëó îðòîíîðìèðîâàííîñòè ôóíêöèé                                   un (x ) ñëåâà îñòàíåòñÿ
ëèøü îäèí ÷ëåí ñ íîìåðîì n=m.
    Èòàê, âìåñòî (28.3) ïîëó÷àåì:
                              dC n (t )
                         ih             = ∑ H mn Cn (t ),                                    (28.4)
                                dt

       H mn = ∫ u m ( x) Hˆ u n ( x) dτ      , m = 1,2....
                    *
ãäå
     Óðàâíåíèå (28.4) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà â ìàòðè÷íîì
ïðåäñòàâëåíèè.
     Ïðèìåíèì óðàâíåíèå Q (28.4) äëÿ ðåøåíèÿ ïðîñòåéøåé çàäà÷è, êîã-
äà âíåøíèå ïîëÿ, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöó, íå çàâèñÿò îò âðåìåíè - ñëó÷àé
ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû. Âîñïîëüçóåìñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì, èëè
Ŗïðåäñòàâëåíèåì, áàçèñîì êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïå-
ðàòîðà Ãàìèëüòîíà, íå çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè. Òîãäà
                 H mn = ∫ u * m Hˆ u n dτ = En ∫ u * m u n dτ = Enδ mn
è óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä:
                              dC n (t )
                         ih             = E n C n (t ).                                      (28.5)
                                dt
      Ïîñêîëüêó      E n = Const , òî óðàâíåíèå (28.5) ðåøàåòñÿ ýëåìåíòàðíî:
                                                                i
                                                             ( − E nt )
                                       Ñ n (t ) = C n (0)e      h


è âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
                                                                             i
                                                                          ( − Et )
                Ψ ( x, t ) = ∑ C n u n = ∑ C n (0)u n ( x ) e                h
                                                                                     ,       (28.6)

÷òî óæå áûëî íàìè ïîëó÷åíî ðàíåå.


                              29. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé
          Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèåì, ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ êîòîðîãî çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè è îò ÷èñëà èçìåðåíèé ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì ðåøàåòñÿ çàäà÷à.
                                                  101

Страницы