Строение и свойства вещества. Изд. 2-е, переработанное. Розман Г.А. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

154
Определим постоянные A, B, C и D и соотношение между
α
и
k
,
используя непрерывность функции
u
и её первой производной на гра-
ницах потенциальной ямы, в точках
.,,0 bxaxx
−
=
=
=
Кроме того,
воспользуемся периодичностью амплитуды волновой функции по пе-
риоду линейной решётки: на правом краю потенциальной ямы ампли-
туда должна иметь то же значение, какое она имеет в предыдущей яме
на её правом краю:
bx
ax
uu
−=
=
=
. (4.2.6)
Как известно из теории решения системы алгебраических урав-
нений, нетривиальное решение для коэффициентов A,B,C,D существу-
ет только в том случае, когда детерминант, составленный из коэффи-
циентов в системе полученных уравнений для нахождения этих коэф-
фициентов, отличен от нуля. Разрешение этой задачи приведёт к сле-
дующему выражению:
( ) ( ) ( )
bakabChabSh +=+
+
coscossin
2
22
αβαβ
αβ
αβ
.
Проведём упрощение этого равенства. Рассмотрим предельный
случай, когда ширина потенциального барьера
0
→
b
, а высота его
∞
→
U
, но таким образом, чтобы площадь барьера
(
)
Ub
оставалась
постоянной.
Введём обозначение
2
h
maUb
P =
и учтя, что при
0
→
b
(
)
(
)
bbShbCh βββ →→ ,1
, получаем следующее упрощённое выраже-
ние
kaaa
a
P
coscossin =+ αα
α
. (4.2.7)
Величина
P
всегда положительна и определяет высоту барьера, раз-
деляющего две соседние потенциальные ямы. При
0
→
b
расстояние
a
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
             Определим постоянные A, B, C и D и соотношение между         α и k,
       используя непрерывность функции u и её первой производной на гра-

       ницах потенциальной ямы, в точках x = 0, x = a, x = −b. Кроме того,
       воспользуемся периодичностью амплитуды волновой функции по пе-
       риоду линейной решётки: на правом краю потенциальной ямы ампли-
       туда должна иметь то же значение, какое она имеет в предыдущей яме
       на её правом краю:

                    u x=a = u x=−b .                         (4.2.6)
            Как известно из теории решения системы алгебраических урав-
       нений, нетривиальное решение для коэффициентов A,B,C,D существу-
       ет только в том случае, когда детерминант, составленный из коэффи-
       циентов в системе полученных уравнений для нахождения этих коэф-
       фициентов, отличен от нуля. Разрешение этой задачи приведёт к сле-
       дующему выражению:

                      β 2 +α2
                              Sh(βb )sin αa + Ch(βb ) cos αa = cos k (a + b ) .
                        2αβ
             Проведём упрощение этого равенства. Рассмотрим предельный
       случай, когда ширина потенциального барьера       b → 0 , а высота его
       U → ∞ , но таким образом, чтобы площадь барьера         (Ub )   оставалась
       постоянной.

                                          maUb
             Введём    обозначение P =             и   учтя,   что     при b → 0
                                           h2
       Ch (βb ) → 1, Sh( βb ) → βb , получаем следующее упрощённое выраже-
       ние

                    P
                       sin αa + cos αa = cos ka .              (4.2.7)
                    αa
             Величина P всегда положительна и определяет высоту барьера, раз-
       деляющего две соседние потенциальные ямы. При       b → 0 расстояние a

                                                                             154




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы