Теория относительности. Розман Г.А. - 72 стр.

                                                                                           168

                                                                                  i
           в ИСО L’: k1′ = k ′ cos ϕ ′; k 2′ = k ′ sinϕ ′; k 3′ = 0; k 4′ = ω ′,
                                                                                  c
где ϕ , ϕ ′ — углы, которые волновой вектор составляет с осями коорди-
нат Ох и О’х’.
    Составим четвертую формулу Лоренца для преобразования четвер-
той компоненты 4-х-мерного волнового вектора:
                                        v
                                 k 4 − i k1
                          k 4′ =        c ,
                                        v2                                            (11.3)
                                    1− 2
                                        c
или, учитывая предыдущие соотношения для компонент 4 -х -мер-
ного волнового вектора , получаем:
                                              ω      v ω
                                          i       − i ⋅ cos ϕ
                                 ω′
                             i           = c         c c      .
                                 c                        v2
                                                    1−
                                                          c2

                                     i
   После сокращения на                     и разрешения относительно частоты ω ,
                                     c
формула принимает вид:

                                                  v2                   v2
                                           1−                     1−
                          ω = ω′                  c2                   c2
                                                         = ω0                 .       (11.4)
                                            v                      v
                                         1 − cos ϕ              1 − cos ϕ
                                            c                      c

                                                                     v
   На основании принципа соответствия при                              << 1 формула (11.4) пе-
                                                                     c
реходит в формулу классического эффекта Доплера
                                         ω0                  ⎛    v      ⎞
                          ω=                           ≈ ω 0 ⎜ 1 + cos ϕ ⎟,
                                    v                        ⎝    c      ⎠            (11.5)
                                 1 − cos ϕ
                                    c
где использована известная нам формула приближенного деления.