ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
214
215
 òîì ñëó÷àå, êîãäà ãðàâèòàöèîííîå ïîëå äîñòàòî÷íî ñëàáîå,
êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà äîëæíû ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò
ñâîèõ ãàëèëååâûõ çíà÷åíèé ( 1,1,1,-ñ
2
) è ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
g
11
=g
22
=g
33
=1+ p; g
44
=-c
2
(1+q);
,
,,
βαβα
rg
=
ïðè÷åì
βα
≠
, à ð, q,
αβ
r
ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé. Òîãäà
âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ïðèìåò âèä (äåòàëüíûé âûâîä ýòîãî
ñîîòíîøåíèÿ äàí â Ïðèëîæåíèè 1.):
−−−+=
2
14
2
24
2
34
2
1
c
u
r
c
u
r
c
u
rqmcE
x
y
z
()
,
22
222211
2/1
2
34
2
24
2
14
2
23
2
13
2
12
2
2
−
−−
−−−−−+−+
c
u
r
c
u
r
c
u
r
c
uu
r
c
uu
r
c
uu
rp
c
u
q
z
y
x
zy
zx
yx
(9.8)
ãäå èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ
.,,
321
zyx
u
dt
dx
u
dt
dx
u
dt
dx
===
Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è (ñëàáîñòü
ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ), ïðåíåáðåæåì ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà
ìàëîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñ q è
2
2
c
u
(ò.å. îòáðîñèì ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå
ð è
αβ
r
). Òîãäà ôîðìóëà (9.8) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ è
çàïèñûâàåòñÿ òàê:
()
()
.
2
1
2
2
1
2
11
1
1
2
2
2
2
2
2
2/1
2
2
2
qmc
mu
mc
c
uq
qmc
c
u
q
q
mcE
⋅++=
=
⋅+−+≈
−+
+
=
(9.9)
Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëó (9.9) ñ âûðàæåíèåì äëÿ ýíåðãèè
íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû â íüþòîíîâîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå
(ñ äîáàâëåíèåì ýíåðãèè ïîêîÿ):
,
2
2
2
ϕ
m
mu
mcE ++=
(9.10)
ãäå
ϕ
- òàê íàçûâàåìûé ãðàâèòàöèîííûé ïîòåíöèàë -
ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òåëà åäèíè÷íîé ìàññû â ïîëå òÿãîòåíèÿ
òåëà ìàññû Ì:
r
GM
−=
ϕ
,
ïîëó÷èì ðàâåícòâî:
.
222
2
2
22
2
ϕ
m
mu
mc
qmcmu
mc ++=++
Èç ñðàâíåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ñëåâà è ñïðàâà â ýòîì
ðàâåíñòâå ïîëó÷àåì:
.
2
2
c
q
ϕ
=
Ýòî ïîçâîëÿåò òîò÷àñ æå ïîëó÷èòü çíà÷åíèå äëÿ g
44
:
.2
2
1
2
2
2
44
ϕ
ϕ
−−=
+−= c
c
cg
(9.11)
Òàêèì îáðàçîì, îêàçàëîñü, ÷òî g
44
îòëè÷íî îò ãàëèëååâñêîãî
çíà÷åíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî äàåò íàì ïðàâî óòâåðæäàòü, ÷òî
÷åòûðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ â íàøåé çàäà÷å îêàçàëîñü
íååâêëèäîâûì.
 ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè, åñëè ñîáûòèÿ, ñâÿçàííûå
èíòåðâàëîì dS, ïðîèñõîäÿò â îäíîé òî÷êå (dõ=dy=dz=0), òo
êâàäðàò èíòåðâàëà dS çàïèøåòñÿ òàê:
dS
2
= -(c
2
+ 2
ϕ
)dt
2
. (9.12)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, dS
2
ñâÿçàíî ñ ñîáñòâåííûì âðåìåíåì
τd
ñîîòíîøåíèåì:
dS
2
= - c
2
d
τ
2
. (9.13)
Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå ñòîðîíû âûðàæåíèé (9.12) è (9.13),
ïîëó÷àåì ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûé âûâîä î òåìïå ñîáñòâåííîãî
âðåìåíè â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå:
 òîì ñëó÷àå, êîãäà ãðàâèòàöèîííîå ïîëå äîñòàòî÷íî ñëàáîå, íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû â íüþòîíîâîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå
êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà äîëæíû ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò (ñ äîáàâëåíèåì ýíåðãèè ïîêîÿ):
ñâîèõ ãàëèëååâûõ çíà÷åíèé ( 1,1,1,-ñ2) è ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
mu 2
g11=g22=g33=1+ p; g44=-c2(1+q); gα , β = rα , β , E = mc 2 + + mϕ , (9.10)
2
ïðè÷åì α ≠ β , à ð, q, rαβ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé. Òîãäà ãäå ϕ - òàê íàçûâàåìûé ãðàâèòàöèîííûé ïîòåíöèàë -
âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ïðèìåò âèä (äåòàëüíûé âûâîä ýòîãî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òåëà åäèíè÷íîé ìàññû â ïîëå òÿãîòåíèÿ
ñîîòíîøåíèÿ äàí â Ïðèëîæåíèè 1.): òåëà ìàññû Ì:
GM
u uy u ϕ =− ,
E = mc 2 1 + q − r34 2z − r24 2 − r14 2x r
c c c
ïîëó÷èì ðàâåícòâî:
−1 / 2
u2 uu u u u mu 2 qmc2 mu 2
1 + q − (1 + p ) − 2r12 x y − 2 r13 x z − 2r23 y z − 2 r14 x −
uu mc 2 + + = mc 2 + + mϕ .
c2 c2 c2 c2 c2 2 2 2
, Èç ñðàâíåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ñëåâà è ñïðàâà â ýòîì
u (9.8)
− 2 r24 y − 2 r34 uz
c 2
c 2
2ϕ
ðàâåíñòâå ïîëó÷àåì: q= .
c2
ãäå èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ
Ýòî ïîçâîëÿåò òîò÷àñ æå ïîëó÷èòü çíà÷åíèå äëÿ g44:
dx1 dx dx
= ux , 2 = u y , 3 = uz . 2ϕ
dt dt dt g44 = −c 2 1 + 2 = −c 2 − 2ϕ . (9.11)
Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è (ñëàáîñòü c
ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ), ïðåíåáðåæåì ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà Òàêèì îáðàçîì, îêàçàëîñü, ÷òî g44 îòëè÷íî îò ãàëèëååâñêîãî
çíà÷åíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî äàåò íàì ïðàâî óòâåðæäàòü, ÷òî
u2
ìàëîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñ q è (ò.å. îòáðîñèì ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ÷åòûðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ â íàøåé çàäà÷å îêàçàëîñü
c2 íååâêëèäîâûì.
ð è rαβ ). Òîãäà ôîðìóëà (9.8) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ è Â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè, åñëè ñîáûòèÿ, ñâÿçàííûå
çàïèñûâàåòñÿ òàê: èíòåðâàëîì dS, ïðîèñõîäÿò â îäíîé òî÷êå (dõ=dy=dz=0), òo
êâàäðàò èíòåðâàëà dS çàïèøåòñÿ òàê:
(1 + q ) q 1 u2 dS2= -(c2+ 2 ϕ )dt2 . (9.12)
E = mc 2 ≈ mc 2 (1 + q )1 − + ⋅ 2 =
1/ 2 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, dS2 ñâÿçàíî ñ ñîáñòâåííûì âðåìåíåì dτ
u2 2 2 c
1 + q − ñîîòíîøåíèåì:
c 2
dS2= - c2d τ 2. (9.13)
(9.9)
mu 2 1 Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå ñòîðîíû âûðàæåíèé (9.12) è (9.13),
= mc +
2
+ ⋅ qmc2 .
2 2 ïîëó÷àåì ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûé âûâîä î òåìïå ñîáñòâåííîãî
Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëó (9.9) ñ âûðàæåíèåì äëÿ ýíåðãèè âðåìåíè â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå:
214 215
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- …
- следующая ›
- последняя »
