ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
210
211
Îòñþäà, ñ ó÷åòîì çíà÷åíèÿ g
44
= -1 (ò.ê ìû ïðèíÿëè â äàííîé
çàäà÷å, ÷òî õ
4
=ñt), ôîðìóëà (8.2) çàïèøåòñÿ òàê:
()
2/1
222
4
2
2
dzdydx
cc
dx
d
++==
τ
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â ôîðìóëó (8.4), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå,
îïðåäåëÿþùåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè
òî÷êàìè:
222222
2
22
dzdydxdzdydx
c
cd
cdl ++=++⋅=
τ
=
,
÷òî è ñëåäîâàëî îæèäàòü äëÿ ïëîñêèõ åâêëèäîâîé è
ïñåâäîåâêëèäîâîé ãåîìåòðèé.
Ïðîâåäåì àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ è äëÿ ñëó÷àÿ
íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè, ãäå ìåòðèêà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (7.11):
∑
⋅=
βαβα
dxdxgdS
,
2
, ãäå
α
,
β
= 1,2,3,4. (7.11)
Êàê è â çàäà÷å, ðàññìîòðåííîé âûøå, âîñïîëüçóåìñÿ
ïðîöåññîì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòîâîãî ñèãíàëà ìåæäó òî÷êàìè
B è À.  ýòîì ñëó÷àå èíòåðâàë äëÿ ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà
òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñâåòîïîäîáíûì, ò.å dS
2
=0. Çàïèøåì åãî ïîäðîáíî:
dS
2
= 0 = g
11
dx
1
2
+ g
22
dx
2
2
+ g
33
dx
3
2
+ g
44
dx
4
2
+ 2g
12
dx
1
.dx
2
+
2g
13
dx
1
dx
3
+ 2g
14
dx
1
dx
4
+ 2g
23
dx
2
dx
3
+ +2g
24
dx
2
dx
4
+ 2g
34
dx
3
dx
4
.
Áîëåå êîìïàêòíî ýòî âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê:
g
44
dx
4
2
+ 2g
i4
dx
i
dx
4
+ g
ik
dx
i
.dx
k
= 0, (8.6)
ãäå i,k = 1,2,3.
Ïðè ñîñòàâëåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû îïóñòèëè çíàê
ñóììèðîâàíèÿ , ÷òî ÷àñòî ïðàêòèêóåòñÿ â ôèçè÷åñêîé íàó÷íîé
ëèòåðàòóðå, ïðè ýòîì ðóêîâîäñòâóþòñÿ ñëåäóþùèì ïðàâèëîì: åñëè
ñîìíîæèòåëè èìåþò ïîâòîðÿþùèåñÿ èíäåêñû, òî ïî íèì âåäåòñÿ
ñóììèðîâàíèå. Âûðàæåíèå (8.6) çàïèñàíî ñîãëàñíî ýòîìó ïðàâèëó.
Âûðàæåíèå (8.6) ïî ôîðìå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì óðàâíåíèåì
îòíîñèòåëüíî âåëè÷èíû dx
4
. Åãî ðåøåíèå çàïèøåòñÿ òàê:
()()
[]
,
1
2/1
44444
44
4
kiikkiii
dxdxggggdxg
g
dx
−+−=
(8.7)
ãäå èñïîëüçîâàíî ëåãêî ïðîâåðÿåìîå òîæäåñòâî
(-g
i4
dx
i
)
2
= (-g
i4
dx
i
)(-g
k4
dx
k
) = g
i4
g
k4
dx
i
dx
k
.
Êðîìå òîãî, ïåðåä êâàäðàòíûì êîðíåì âçÿò òîëüêî çíàê (+),
ò.ê. dx
4
>0.
Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ñîáñòâåííîìó âðåìåíè ïî ôîðìóëå
(8.2), ó÷òåì, ÷òî â ýòîì âûðàæåíèè ñòîèò ñóììàðíàÿ âåëè÷èíà ,
ó÷èòûâàþùàÿ äâèæåíèå ñâåòîâîãî ëó÷à îò  ê À è åãî âîçâðàùå-
íèå ñíîâà ê Â. Ïîýòîìó ó dx
4
ïîñòàâèì çíàê øòðèõà. Íî ïðè óä-
âîåíèè âåëè÷èíû dx
4
(âðåìÿ äâèæåíèÿ òóäà è îáðàòíî) íå-
îáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî â ïåðâîé ÷àñòè ïóòè ñâåòîâîãî ëó÷à dõ
i
>0
(íàïðàâëåíèå îò òî÷êè  ê òî÷êå À ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì íà
îñè 0õ), âî âòîðîé ÷àñòè ïóòè (âîçâðàùåíèå ê òî÷êå À) - dx
i
<0.
Ïîýòîìó ñêëàäûâàÿ âûðàæåíèå (8.7) äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëíîãî
âðåìåíè äâèæåíèÿ ëó÷à, ïîëó÷àåì:
()
.
2
2/1
4444
44
4
kiikki
dxdxgggg
g
xd
−=
′
(8.8)
Èòàê,
()
()
[]
2/1
4444
2/1
44
2
kiikki
dxdxgggg
gc
d
−
−
=
τ
(8.9)
Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíò äëèíû ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî
ôîðìóëå:
()
()
[]
2/1
4444
2/1
44
1
kiikki
dxdxgggg
g
dl
−
−
=
(8.10)
Îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ íå âåëè÷èíà dl, à dl
2
, ïîýòîìó âîçâåäåì
âî âòîðóþ ñòåïåíü âûðàæåíèå (8.10):
.
44
44
2
ki
ki
ik
dxdx
g
gg
gdl
−=
(8.11)
Ìû ïîëó÷èëè ïðîñòðàíñòâåííóþ ÷àñòü êâàäðàòà èíòåðâàëà
dS
2
, åå òàê è íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâåííûì èíòåðâàëîì. Ðîëü
ïðîñòðàíñòâåííîãî ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà èãðàåò âåëè÷èíà
.
44
44
g
gg
g
ki
ikik
−=
γ
(8.12)
Ïîýòîìó ôîðìóëå (8.11) ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùèé âèä,
Îòñþäà, ñ ó÷åòîì çíà÷åíèÿ g44= -1 (ò.ê ìû ïðèíÿëè â äàííîé (-gi4dxi)2 = (-gi4dxi)(-gk4dxk) = gi4gk4dxidxk.
çàäà÷å, ÷òî õ4=ñt), ôîðìóëà (8.2) çàïèøåòñÿ òàê: Êðîìå òîãî, ïåðåä êâàäðàòíûì êîðíåì âçÿò òîëüêî çíàê (+),
ò.ê. dx4>0.
dτ =
2 dx4
c
=
c
(
2 2
dx + dy 2 + dz 2
1/ 2
) Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ñîáñòâåííîìó âðåìåíè ïî ôîðìóëå
(8.2), ó÷òåì, ÷òî â ýòîì âûðàæåíèè ñòîèò ñóììàðíàÿ âåëè÷èíà ,
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â ôîðìóëó (8.4), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå,
ó÷èòûâàþùàÿ äâèæåíèå ñâåòîâîãî ëó÷à îò  ê À è åãî âîçâðàùå-
îïðåäåëÿþùåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè
íèå ñíîâà ê Â. Ïîýòîìó ó dx4 ïîñòàâèì çíàê øòðèõà. Íî ïðè óä-
òî÷êàìè:
âîåíèè âåëè÷èíû dx4 (âðåìÿ äâèæåíèÿ òóäà è îáðàòíî) íå-
dτ c 2 îáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî â ïåðâîé ÷àñòè ïóòè ñâåòîâîãî ëó÷à dõi>0
dl = c = ⋅ dx 2 + dy 2 + dz 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ,
2 2 c (íàïðàâëåíèå îò òî÷êè  ê òî÷êå À ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì íà
÷òî è ñëåäîâàëî îæèäàòü äëÿ ïëîñêèõ åâêëèäîâîé è îñè 0õ), âî âòîðîé ÷àñòè ïóòè (âîçâðàùåíèå ê òî÷êå À) - dxi<0.
ïñåâäîåâêëèäîâîé ãåîìåòðèé. Ïîýòîìó ñêëàäûâàÿ âûðàæåíèå (8.7) äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëíîãî
Ïðîâåäåì àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ è äëÿ ñëó÷àÿ âðåìåíè äâèæåíèÿ ëó÷à, ïîëó÷àåì:
íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè, ãäå ìåòðèêà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (7.11):
dx4′ =
2
(g4i g4k − gik g44 )dxi dxk 1/ 2 . (8.8)
dS = ∑ gα , β dxα ⋅ dxβ , ãäå α , β = 1,2,3,4.
2
(7.11) g 44
Èòàê,
Êàê è â çàäà÷å, ðàññìîòðåííîé âûøå, âîñïîëüçóåìñÿ
ïðîöåññîì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòîâîãî ñèãíàëà ìåæäó òî÷êàìè dτ =
2
[(g4i g4 k − gik g 44 )dxi dxk ]1 / 2 (8.9)
B è À.  ýòîì ñëó÷àå èíòåðâàë äëÿ ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà c (− g 44 )1 / 2
òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñâåòîïîäîáíûì, ò.å dS2=0. Çàïèøåì åãî ïîäðîáíî: Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíò äëèíû ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî
dS2 = 0 = g11dx12 + g22dx22 + g33dx32 + g44dx42 + 2g12dx1.dx2 + ôîðìóëå:
2g13dx1dx3 + 2g14dx1dx4 + 2g23dx2dx3 + +2g24dx2dx4 + 2g34dx3dx4.
Áîëåå êîìïàêòíî ýòî âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê: dl =
1
[(g4i g4k − gik g44 )dxi dxk ]1/ 2 (8.10)
(− g 44 )1 / 2
g44dx42 + 2gi4dxidx4 + gikdxi.dxk = 0, (8.6)
ãäå i,k = 1,2,3. Îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ íå âåëè÷èíà dl, à dl2, ïîýòîìó âîçâåäåì
Ïðè ñîñòàâëåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû îïóñòèëè çíàê âî âòîðóþ ñòåïåíü âûðàæåíèå (8.10):
ñóììèðîâàíèÿ , ÷òî ÷àñòî ïðàêòèêóåòñÿ â ôèçè÷åñêîé íàó÷íîé g g
ëèòåðàòóðå, ïðè ýòîì ðóêîâîäñòâóþòñÿ ñëåäóþùèì ïðàâèëîì: åñëè dl 2 = gik − i 4 k 4 dxi dxk . (8.11)
g 44
ñîìíîæèòåëè èìåþò ïîâòîðÿþùèåñÿ èíäåêñû, òî ïî íèì âåäåòñÿ
ñóììèðîâàíèå. Âûðàæåíèå (8.6) çàïèñàíî ñîãëàñíî ýòîìó ïðàâèëó. Ìû ïîëó÷èëè ïðîñòðàíñòâåííóþ ÷àñòü êâàäðàòà èíòåðâàëà
Âûðàæåíèå (8.6) ïî ôîðìå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì óðàâíåíèåì dS2, åå òàê è íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâåííûì èíòåðâàëîì. Ðîëü
îòíîñèòåëüíî âåëè÷èíû dx4. Åãî ðåøåíèå çàïèøåòñÿ òàê: ïðîñòðàíñòâåííîãî ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà èãðàåò âåëè÷èíà
dx4 =
1
g 44
[
− g 4i dxi + ((g 4i g 4 k − gik g 44 )dxi dxk )1 / 2 ,] (8.7)
γ ik = gik −
gi 4 g k 4
g 44
. (8.12)
ãäå èñïîëüçîâàíî ëåãêî ïðîâåðÿåìîå òîæäåñòâî Ïîýòîìó ôîðìóëå (8.11) ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùèé âèä,
210 211
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- …
- следующая ›
- последняя »
