Теория относительности. Учебное пособие. Розман Г.А. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

208
209
ïðîöåññ. ×àñû â ÈÑÎ è â ÍÑÎ íàõîäÿòñÿ â ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ
óñëîâèÿõ: â ÑÒÎ íå ó÷èòûâàåòñÿ âëèÿíèå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ
(èìåííî ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâî îäíîðîäíî è èçîòðîïíî, à âðåìÿ
îäíîðîäíî), â ÎÒÎ èìåííî èç-çà ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ
ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ìåòðèêè ïðîñòðàíñòâà  âðåìåíè, îíî
ñòàíîâèòñÿ íååâêëèäîâûì, õîä ÷àñîâ â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå
çàìåäëÿåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ õîäîì â îòñóòñòâèè
ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ.
Òåïåðü ïðèäàäèì ïðåäûäóùèì ðàññóæäåíèÿì è âûâîäàì
ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå. Êàê è â ÑÒÎ, â ÎÒÎ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå
ñîáñòâåííîãî âðåìåíè â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà. Äëÿ åãî
èçìåðåíèÿ â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ïîìåùàþòñÿ ôèçè÷åñêè
ýêâèâàëåíòíûå ÷àñû. Âðåìÿ, èçìåðåííîå ïî òàêèì ÷àñàì, è åñòü
ñîáñòâåííîå âðåìÿ â äàííîé òî÷êå ÷åòûðåõìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ.
Îáîçíà÷èì áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê ñîáñòâåííîãî âðåìåíè
÷åðåç dt. Èñïîëüçóÿ îáùåå âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà (2.5):
dS
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
- c
2
dt
2
è ó÷èòûâàÿ, ÷òî èçìåðåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ â îäíîé òî÷êå, ò.å.
dx=dy=dz=0, à â ýòîì ñëó÷àå dt=d
τ
, ïîëó÷àåì äëÿ èíòåðâàëà
ñîáñòâåííîãî âðåìåíè ñîîòíîøåíèå
dS
2
= -c
2
d
τ
2
. (8.1)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñâÿçè ñîáñòâåííîãî âðåìåíè
τ
ñ
ëàáîðàòîðíûì âðåìåíåì t âîñïîëüçóåìñÿ ïîëíûì âûðàæåíèåì
äëÿ êâàäðàòà èíòåðâàëà äâóõ áåñêîíå÷íî áëèçêèõ ñîáûòèé (7.11):
∑
=
βα
βαβα
,
,
2
.
dxdxgdS
(7.11)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî dx
1
=dx
2
=dx
3
=0, ïîëó÷àåì:
,
222
444
2
τ
dcdxgdS −==
îòêóäà
2
2
444
2
c
dxg
d −=
τ
èëè
()
.
4
2/1
44
c
dxg
d
−
=
τ
(8.2)
Äëÿ êîíå÷íûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè
()
∫
−=
.
1
44
2/1
44
dxg
c
τ
(8.3)
Åñëè g
44
ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò õ
1
, x
2
, x
3
, òî
ñîáñòâåííîå âðåìÿ
τ
â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà òå÷åò ïî-
ðàçíîìó; åñëè æå g
44
çàâèñèò è îò âðåìåíè õ
4
, òî èçìåíÿåòñÿ è
òåìï ñîáñòâåííîãî âðåìåíè â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.
 ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå ïðè ïîñòîÿííîì ãðàâèòàöèîííîì
ïîëå ñèíõðîíèçàöèþ ÷àñîâ ìîæíî ïðîèçâîäèòü ëîêàöèîííûì
ìåòîäîì, âðåìÿ õ
4
îáû÷íî íàçûâàåòñÿ ìèðîâûì âðåìåíåì.
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê èçìåðåíèþ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ
ìèðîâûìè òî÷êàìè. Ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ëîêàöèîííûì ìåòîäîì,
â êîòîðîì ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîñòîÿíñòâî ñêîðîñòè ñâåòà
(ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí) â ëþáîì íàïðàâëåíèè. Ðàññìîòðèì
ñëåäóþùèé ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Ïóñòü èç ìèðîâîé òî÷êè Â
â áåñêîíå÷íî áëèçêóþ òî÷êó À íàïðàâëÿåòñÿ ñâåò, èñïûòàâ
îòðàæåíèå, îí âîçâðàùàåòñÿ â òî÷êó Â. Íà âåñü ïðîöåññ
ïîòðåáîâàëîñü âðåìÿ (ïî ÷àñàì â òî÷êå Â) d
τ
. Òîãäà ðàññòîÿíèå
ìåæäó òî÷êàìè  è À ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå:
2
τ
d
cdl
=
. (8.4)
Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé âîññòàíîâèì ïîäîáíóþ
îïåðàöèþ â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè
.Ñâåòîïîäîáíûé èíòåðâàë ìåæäó ñîáûòèÿìè (îòïðàâêà ñâåòîâîãî
ñèãíàëà â òî÷êó À èç òî÷êè  è âîçâðàùåíèå åãî â òî÷êó Â) ðàâåí
íóëþ: ò.å. dS
2
=0, îòêóäà
dx
2
+ dy
2
+ dz
2
- dx
4
2
= 0
èëè
222
4
dzdydxdx ++±=
(8.5)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè d
τ
, ïðîøåäøåãî â òî÷êå  ìåæäó
îòïðàâêîé è âîçâðàùåíèåì ñèãíàëà, çàïèøåì è ñðàâíèì ìåæäó
ñîáîé âðåìåííûå êîîðäèíàòû îòïðàâêè è âîçâðàùåíèÿ ñâåòîâîãî
ñèãíàëà. Îòïðàâêà ñèãíàëà ïðîèçîøëà â ìîìåíò âðåìåíè (x
4
-dx
4
),
ñîîòâåòñòâåííî âîçâðàùåíèå ñèãíàëà ïðîèçîøëî â ìîìåíò
âðåìåíè (x
4
+dx
4
), âðåìÿ äâèæåíèÿ ñèãíàëà 2dx
4
.
ïðîöåññ. ×àñû â ÈÑÎ è â ÍÑÎ íàõîäÿòñÿ â ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ              Äëÿ êîíå÷íûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè
óñëîâèÿõ: â ÑÒÎ íå ó÷èòûâàåòñÿ âëèÿíèå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ                             1
                                                                                           (− g44 )1 / 2 dx44 .
                                                                                        c∫
(èìåííî ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâî îäíîðîäíî è èçîòðîïíî, à âðåìÿ                        τ=                                     (8.3)
îäíîðîäíî), â ÎÒÎ èìåííî èç-çà ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ
                                                                        Åñëè g 44 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò õ 1, x 2, x 3, òî
ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ìåòðèêè ïðîñòðàíñòâà – âðåìåíè, îíî
                                                                   ñîáñòâåííîå âðåìÿ τ â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà òå÷åò ïî-
ñòàíîâèòñÿ íååâêëèäîâûì, õîä ÷àñîâ â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå
                                                                   ðàçíîìó; åñëè æå g44 çàâèñèò è îò âðåìåíè õ4, òî èçìåíÿåòñÿ è
çàìåäëÿåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ õîäîì â îòñóòñòâèè
                                                                   òåìï ñîáñòâåííîãî âðåìåíè â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.
ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ.
                                                                         ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå ïðè ïîñòîÿííîì ãðàâèòàöèîííîì
     Òåïåðü ïðèäàäèì ïðåäûäóùèì ðàññóæäåíèÿì è âûâîäàì             ïîëå ñèíõðîíèçàöèþ ÷àñîâ ìîæíî ïðîèçâîäèòü ëîêàöèîííûì
ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå. Êàê è â ÑÒÎ, â ÎÒÎ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå      ìåòîäîì, âðåìÿ õ4 îáû÷íî íàçûâàåòñÿ ìèðîâûì âðåìåíåì.
ñîáñòâåííîãî âðåìåíè â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà. Äëÿ åãî               Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê èçìåðåíèþ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ
èçìåðåíèÿ â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ïîìåùàþòñÿ ôèçè÷åñêè         ìèðîâûìè òî÷êàìè. Ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ëîêàöèîííûì ìåòîäîì,
ýêâèâàëåíòíûå ÷àñû. Âðåìÿ, èçìåðåííîå ïî òàêèì ÷àñàì, è åñòü       â êîòîðîì ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîñòîÿíñòâî ñêîðîñòè ñâåòà
ñîáñòâåííîå âðåìÿ â äàííîé òî÷êå ÷åòûðåõìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ.      (ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí) â ëþáîì íàïðàâëåíèè. Ðàññìîòðèì
Îáîçíà÷èì áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê ñîáñòâåííîãî âðåìåíè         ñëåäóþùèé ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Ïóñòü èç ìèðîâîé òî÷êè Â
÷åðåç dt. Èñïîëüçóÿ îáùåå âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà (2.5):           â áåñêîíå÷íî áëèçêóþ òî÷êó À íàïðàâëÿåòñÿ ñâåò, èñïûòàâ
                   dS2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2                   îòðàæåíèå, îí âîçâðàùàåòñÿ â òî÷êó Â. Íà âåñü ïðîöåññ
è ó÷èòûâàÿ, ÷òî èçìåðåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ â îäíîé òî÷êå, ò.å.         ïîòðåáîâàëîñü âðåìÿ (ïî ÷àñàì â òî÷êå Â) d τ . Òîãäà ðàññòîÿíèå
dx=dy=dz=0, à â ýòîì ñëó÷àå dt=d τ , ïîëó÷àåì äëÿ èíòåðâàëà        ìåæäó òî÷êàìè  è À ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå:
ñîáñòâåííîãî âðåìåíè ñîîòíîøåíèå
                                                                                                     dτ
                      dS2 = -c2d τ 2 .                (8.1)                                 dl = c      .                 (8.4)
                                                                                                      2
     Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñâÿçè ñîáñòâåííîãî âðåìåíè τ ñ
                                                                        Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé âîññòàíîâèì ïîäîáíóþ
ëàáîðàòîðíûì âðåìåíåì t âîñïîëüçóåìñÿ ïîëíûì âûðàæåíèåì
                                                                   îïåðàöèþ â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè
äëÿ êâàäðàòà èíòåðâàëà äâóõ áåñêîíå÷íî áëèçêèõ ñîáûòèé (7.11):
                                                                   .Ñâåòîïîäîáíûé èíòåðâàë ìåæäó ñîáûòèÿìè (îòïðàâêà ñâåòîâîãî
                 dS 2 = ∑ gα , β dxα dxβ .                         ñèãíàëà â òî÷êó À èç òî÷êè  è âîçâðàùåíèå åãî â òî÷êó Â) ðàâåí
                         α ,β
                                                          (7.11)
                                                                   íóëþ: ò.å. dS2=0, îòêóäà
      Ó÷èòûâàÿ, ÷òî dx1=dx2=dx3=0, ïîëó÷àåì:                                            dx2 + dy2 + dz2 - dx42 = 0
                         dS 2 = g 44dx42 = − c 2 dτ 2 ,            èëè
îòêóäà                                                                              dx4 = ± dx 2 + dy 2 + dz 2            (8.5)
                                           g 44dx42                    Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè d τ , ïðîøåäøåãî â òî÷êå  ìåæäó
                                dτ 2 = −
                                              c2                   îòïðàâêîé è âîçâðàùåíèåì ñèãíàëà, çàïèøåì è ñðàâíèì ìåæäó
èëè                                                                ñîáîé âðåìåííûå êîîðäèíàòû îòïðàâêè è âîçâðàùåíèÿ ñâåòîâîãî
                                                                   ñèãíàëà. Îòïðàâêà ñèãíàëà ïðîèçîøëà â ìîìåíò âðåìåíè (x4-dx4),
                 dτ =
                        (− g44 )1 / 2 dx4 .                        ñîîòâåòñòâåííî âîçâðàùåíèå ñèãíàëà ïðîèçîøëî â ìîìåíò
                                                          (8.2)
                                c                                  âðåìåíè (x4+dx4), âðåìÿ äâèæåíèÿ ñèãíàëà 2dx4.
208                                                                                                                               209

Страницы