Теория относительности. Учебное пособие. Розман Г.А. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

204
205
.
44434241
34333231
24232221
14131211
,
gggg
gggg
gggg
gggg
g =
βα
(7.16)
Òàáëèöà (7.16), ñîñòàâëåííàÿ èç ìåòðè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ
αβ
g
, íîñèò íàçâàíèå ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà 2-ãî ðàíãà (ïî ÷èñëó
èíäåêñîâ ó êàæäîãî ýëåìåíòà òàáëèöû). Òàê êàê èíäåêñû
ðàâíîöåííû, ïðèíèìàþò îäíè è òå æå çíà÷åíèÿ îò 1 äî 4, òî òåíçîð
îêàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìåòðè÷åñêèé
êîýôôèöèåíò
αβ
g
ñîâïàäàåò ñ ìåòðè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì
βα
g
:
αβ
g
=
βα
g
.
Ïîýòîìó ðàçëè÷íûìè ìîãóò áûòü êîýôôèöèåíòû,
ðàñïîëîæåííûå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè (òàêèõ êîýôôèöèåíòîâ ó
íàñ ÷åòûðå), îñòàëüíûå æå êîýôôèöèåíòû ïîïàðíî ðàâíû(òàêèõ
êîýôôèöèåíòîâ â íàøåé òàáëèöå øåñòü). Òàêèì îáðàçîì, íàøà
ìàòðèöà â îáùåì ñëó÷àå ñîäåðæèò ëèøü 10 ðàçëè÷íûõ
êîýôôèöèåíòîâ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàáîòû ñ ìàòðèöåé (7.16) ñîñòàâèì
ìåòðè÷åñêèé òåíçîð äëÿ èíòåðâàëà ÑÒÎ âèäà (7.15):
1000
0100
0010
0001
,
−
=
βα
g
. (7.17)
Òàêîé âèä ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â CTO îòðàæàåò íå òîëüêî
îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü ïðîñòðàíñòâà (êîýôôèöèåíòû
g
1l
=g
22
=g
23
=1). Òàê êàê êîýôôèöèåíò g
44
=-1, òî ýòî óêàçûâàåò íà
òî, ÷òî âðåìÿ õîòÿ è îäíîðîäíî (åãî ëþáîé ìîìåíò ìîæíî âçÿòü
çà íà÷àëî îòñ÷åòà), íî îòëè÷àåòñÿ îò ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà (â
ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïåðåìåùàòüñÿ â ëþáîì íàïðàâëåíèè, âðåìÿ
æå òå÷åò îò ïðîøëîãî ê áóäóùåìó).
Ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé íàõîæäåíèÿ êîìïîíåíò
ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà. Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ÑO, îäíà èíåðöèàëüíàÿ
CÎ L, âòîðàÿ - L  âðàùàåòñÿ âîêðóã îáùåé îñè 0z (0z) ñ
óãëîâîé ñêîðîñòüþ
ω
. Òàêèì îápaçoì, CÎ L  ÿâëÿåòñÿ
íåèíåðöèàëüíîé.  ÈÑÎ L âîñïîëüçóåìñÿ öèëèíäðè÷åñêèìè
êîîðäèíàòàìè: õ
1
=r, õ
2
=
ϕ
, x
3
=z, x
4
=ct. Â ÈÑÎ L êâàäðàò
ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà çàïèøåòñÿ òàê:
dS
2
= dr
2
+ r
2
d
ϕ
2
+ dz
2
- ñ
2
dt
2
. (7.18)
Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû
αβ
g
çàòåì ñîñòàâèì ìåòðè÷åñêèé
òåíçîð:
g
11
=1; g
22
=r
2
; g
33
=1; g
44
=-1 ;
αβ
g
= 0 ïðè
βα
≠
,
à ñàì òåíçîð ïðåäñòàâèì â âèäå òàáëèöû:
1000
0100
000
0001
2
,
−
=
r
g
βα
(7.19)
Ôîðìóëàìè ïåðåõîäà îò ÑO L ê ÑÎ L  áóäóò ðàâåíñòâà
(íåðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé):
r=
r
′
,
ϕ
=
ϕ
′
+
ω
t, z=z, ct=ct
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ôîðìóëû â âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà (7.18),
ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòà ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà â ÍÑÎ
L :
()
()
.2
2222
2
22222
tdrctcdd
c
r
zddrrddS
′′
−−
′′
′
+
′
+
′′
+
′
=
ωϕ
ω
ϕ
(7.20)
Ñîïîñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå ñ ôîðìóëîé (7.11) èëè (7.16),
îïðåäåëÿåì êîýôôèöèåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â ÍÑÎ L :
g
11
=1, g
22
=r
2
, g
33
=1,
′
−−=
2
22
44
1
c
r
g
ω
,
.
2
4224
c
r
gg
′
==
ω
                                                                              Ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé íàõîæäåíèÿ êîìïîíåíò
                                       g11 g12 g13 g14                    ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà. Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ÑO, îäíà èíåðöèàëüíàÿ
                                       g 21 g 22 g 23 g 24                CÎ “L”, âòîðàÿ - “L’ ” âðàùàåòñÿ âîêðóã îáùåé îñè 0z (0’z’) ñ
                            gα , β =                         .
                                       g 31 g32 g 33 g34         (7.16)   óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Òàêèì îápaçoì, CÎ “L’ ” ÿâëÿåòñÿ
                                                                          íåèíåðöèàëüíîé.  ÈÑÎ “L” âîñïîëüçóåìñÿ öèëèíäðè÷åñêèìè
                                       g 41 g 42 g 43 g 44
                                                                          êîîðäèíàòàìè: õ1=r, õ2= ϕ , x3=z, x4=ct.  ÈÑÎ “L” êâàäðàò
      Òàáëèöà (7.16), ñîñòàâëåííàÿ èç ìåòðè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ           ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà çàïèøåòñÿ òàê:
g αβ , íîñèò íàçâàíèå ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà 2-ãî ðàíãà (ïî ÷èñëó                           dS2 = dr2 + r2d ϕ 2 + dz2 - ñ2dt2.    (7.18)
èíäåêñîâ ó êàæäîãî ýëåìåíòà òàáëèöû). Òàê êàê èíäåêñû                         Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû g αβ çàòåì ñîñòàâèì ìåòðè÷åñêèé
ðàâíîöåííû, ïðèíèìàþò îäíè è òå æå çíà÷åíèÿ îò 1 äî 4, òî òåíçîð          òåíçîð:
îêàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìåòðè÷åñêèé
                                                                                g11=1; g22=r2; g33=1; g44=-1 ; g αβ = 0 ïðè α ≠ β ,
êîýôôèöèåíò g αβ ñîâïàäàåò ñ ìåòðè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì gβα :
                                                                          à ñàì òåíçîð ïðåäñòàâèì â âèäå òàáëèöû:
                                   g αβ = g βα .
                                                                                                           1 0 0 0
     Ïîýòîìó ðàçëè÷íûìè ìîãóò áûòü êîýôôèöèåíòû,
ðàñïîëîæåííûå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè (òàêèõ êîýôôèöèåíòîâ ó                                                  0 r2 0 0
                                                                                                gα , β =
íàñ ÷åòûðå), îñòàëüíûå æå êîýôôèöèåíòû ïîïàðíî ðàâíû(òàêèõ                                                 0 0 1 0                                            (7.19)
êîýôôèöèåíòîâ â íàøåé òàáëèöå øåñòü). Òàêèì îáðàçîì, íàøà                                                  0 0 0 −1
ìàòðèöà â îáùåì ñëó÷àå ñîäåðæèò ëèøü 10 ðàçëè÷íûõ
                                                                               Ôîðìóëàìè ïåðåõîäà îò ÑO “L” ê ÑÎ “L’ ” áóäóò ðàâåíñòâà
êîýôôèöèåíòîâ.
                                                                          (íåðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé):
      êà÷åñòâå ïðèìåðà “ðàáîòû” ñ ìàòðèöåé (7.16) ñîñòàâèì
ìåòðè÷åñêèé òåíçîð äëÿ èíòåðâàëà ÑÒÎ âèäà (7.15):                                         r= r′ , ϕ = ϕ ′ + ω t’, z=z’, ct=ct’
                                                                               Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ôîðìóëû â âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà (7.18),
                             1   0      0 0                               ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòà ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà â ÍÑÎ
                  gα , β   =
                             0   1      0 0                               “L’ ”:
                             0   0      1 0.                     (7.17)
                             0   0      0 −1                                   dS 2 = dr′2 + r ′2dϕ ′2 + dz′2 + 2
                                                                                                                    ω r ′2
                                                                                                                     c
                                                                                                                                         (             )
                                                                                                                           dϕ ′d (ct ′) − c 2 − ω 2 r ′2 dt ′2 . (7.20)

     Òàêîé âèä ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â CTO îòðàæàåò íå òîëüêî                  Ñîïîñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå ñ ôîðìóëîé (7.11) èëè (7.16),
îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü ïðîñòðàíñòâà (êîýôôèöèåíòû                    îïðåäåëÿåì êîýôôèöèåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â ÍÑÎ “L’ ”:
g1l=g22=g23=1). Òàê êàê êîýôôèöèåíò g44=-1, òî ýòî óêàçûâàåò íà
                                                                                                                                       ω 2 r′2 
òî, ÷òî âðåìÿ õîòÿ è îäíîðîäíî (åãî ëþáîé ìîìåíò ìîæíî âçÿòü                           g11=1,       g22=r’ , g33=1,
                                                                                                            2                g 44 = −1 − 2  ,
çà íà÷àëî îòñ÷åòà), íî îòëè÷àåòñÿ îò ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà (â                                                                              c 
ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïåðåìåùàòüñÿ â ëþáîì íàïðàâëåíèè, âðåìÿ
æå òå÷åò îò ïðîøëîãî ê áóäóùåìó).                                                                                          ω r′2
                                                                                                           g 24 = g 42 =         .
                                                                                                                             c

204                                                                                                                                                                  205

Страницы