Теория относительности. Учебное пособие. Розман Г.А. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

212
213
èñïîëüçóÿ (8.12):
()
2/1
kiik
dxdxdl
γ
=
(8.13)
Åñëè ìîæíî ââåñòè åäèíîå âðåìÿ, ò.å. âåëè÷èíà
γ
ik
íå áóäåò
çàâèñåòü îò âðåìåíè, òî ôîðìóëà (8.13) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü
ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè.
§9. Íàõîæäåíèå êîìïîíåíò ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà
 §7 ìû óñòàíîâèëè, ÷òî îòëè÷èå ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâ 
âðåìåíè îò Åâêëèäîâîé ìîæíî îïðåäåëèòü íå òîëüêî ïóòåì
íàõîæäåíèÿ ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ïåðåõîäà îò îäíîé ÑÎ
ê äðóãîé, íî è ïóòåì íàõîæäåíèÿ êîìïîíåíò ìåòðè÷åñêîãî
òåíçîðà. Îòëè÷èå èõ îò ãàëèëååâûõ çíà÷åíèé ( 1, 1, 1, -1) ïîêàæåò
íå åâêëèäîâîñòü ãåîìåòðèè â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å.  äàííîì
ïàðàãðàôå ìû ïîêàæåì, êàê ìîæíî îïðåäåëèòü êîìïîíåíòû
ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà.
Âûðàçèì ýíåðãèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÷åðåç ýëåìåíò
èíòåðâàëà. Ñíà÷àëà ñäåëàåì ýòî â ðàìêàõ ñïåöèàëüíîé òåîðèè
îòíîñèòåëüíîñòè, ò.å. â îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ.
Îãðàíè÷èìñÿ ìàëûìè ñêîðîñòÿìè, ÷òî ñóùåñòâåííî óïðîñòèò
ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è.
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ ýíåðãèè ñâîáîäíî äâèæóùåéñÿ
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè:
.
11
2/1
22
222
2
2/1
2
2
2
++
−
=
−
=
dtc
dzdydx
mc
c
u
mc
E
(9.1)
Ïðîâåäÿ ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ (ïðèâåñòè ê îáùåìó
çíàìåíàòåëþ ïîä çíàêîì êîðíÿ, âûíåñòè èç-ïîä êîðíÿ ñdt,
ïîìåíÿòü ÷ëåíû ìåñòàìè, ââåñòè îáîçíà÷åíèå äëÿ ìíèìîé
åäèíèöû), ôîðìóëå (9.1) ìîæíî ïðèäàòü èíîé âèä:
()
.
2/1
22222
3
dtcdzdydxi
dt
mcE
−++
=
(9.2)
Ðàññìàòðèâàÿ dx ,dy, dz, dt êaê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå,
íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè òîæäåñòâà:
()
()
()
()
()
,
2/1
22222
2/1
22222
2
dt
dS
dtcdzdydx
dt
dtcdzdydx
dtc
∂
∂
=
=−++
∂
∂
=
−++
−
(9.3)
ãäå ó÷òåíî, ÷òî dS
2
=dx
2
+ dy
2
+ dz
2
- c
2
dt
2
. Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî
(9.3), ôîðìóëó (9.2) ìîæíî çàïèñàòü òàê:
()
()
dt
dS
i
mc
E
∂
∂
−=
(9.4)
 ãðàâèòàöèîííîì ïîëå âûðàæåíèå äëÿ ýëåìåíòà èíòåðâàëà
îáîáùåíî ôîðìóëîé (7.11):
2/1
4
1,
,
=
∑
=
βα
βαβα
dxdxgdS
(9.5)
Äàëåå äëÿ óäîáñòâà áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç x
1
=x, x
2
=y, õ
3
=z,
x
4
=t. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ôîðìóëà (9.4) ñ ó÷åòîì (9.5) ñïðàâåäëèâà
è ïðè íàëè÷èè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ (÷òî âïîñëåäñòâèè
îïðàâäûâàåòñÿ ïîëó÷àþùèìèñÿ ñëåäñòâèÿìè), ïîëó÷èì äëÿ
âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèè ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
() ()
4
2/1
4
1,
,
4
dxi
mc
dxdxg
dxi
mc
E
∂
∂
−=
∂
∂
⋅−=
∑
=
βα
βαβα
(g
11
dx
1
2
+
+ g
22
dx
2
2
+ g
33
dx
3
2
+ g
44
dx
4
2
+ 2g
12
dx
1
dx
2
+ 2g
13
dx
1
dx
3
+ +2g
14
dx
1
dx
4
++ 2g
23
dx
2
dx
3
+
+ 2g
24
dx
2
dx
4
+
2/1
4334
)2
dxdxg
. (9.6)
Âûïîëíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, ïîëó÷èì:
2/1
4
1,
,
114224334444
+++
−=
∑
=
βα
βαβα
dxdxg
dxgdxgdxgdxg
i
mc
E
. (9.7)
èñïîëüçóÿ (8.12):                                                                      íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè òîæäåñòâà:
                    dl = (γ ik dxi dxk )1 / 2            (8.13)                                                − c 2 dt
                                                                                                                                        =
                                                                                                                                               ∂
                                                                                                                                                  ( dx 2 + dy 2 + dz 2 − c 2 dt 2)1/ 2
                                                                                                                                                                                       =
     Åñëè ìîæíî ââåñòè åäèíîå âðåìÿ, ò.å. âåëè÷èíà γ ik íå áóäåò
çàâèñåòü îò âðåìåíè, òî ôîðìóëà (8.13) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü
                                                                                             (dx   2
                                                                                                       + dy + dz − c dt
                                                                                                           2        2     2
                                                                                                                                 )
                                                                                                                               2 1/ 2       ∂ (dt )

ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè.                                                           ∂ (dS )                                                                      (9.3)
                                                                                                            =         ,
                                                                                                              ∂ (dt )
        §9. Íàõîæäåíèå êîìïîíåíò ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà                                  ãäå ó÷òåíî, ÷òî dS2=dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2. Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî
                                                                                       (9.3), ôîðìóëó (9.2) ìîæíî çàïèñàòü òàê:
      §7 ìû óñòàíîâèëè, ÷òî îòëè÷èå ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñò⠖
âðåìåíè îò Åâêëèäîâîé ìîæíî îïðåäåëèòü íå òîëüêî ïóòåì
íàõîæäåíèÿ ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ïåðåõîäà îò îäíîé ÑÎ                                                                               mc ∂ (dS )
                                                                                                                              E=−                                                     (9.4)
ê äðóãîé, íî è ïóòåì íàõîæäåíèÿ êîìïîíåíò ìåòðè÷åñêîãî                                                                                   i ∂ (dt )
òåíçîðà. Îòëè÷èå èõ îò ãàëèëååâûõ çíà÷åíèé ( 1, 1, 1, -1) ïîêàæåò                           ãðàâèòàöèîííîì ïîëå âûðàæåíèå äëÿ ýëåìåíòà èíòåðâàëà
íå åâêëèäîâîñòü ãåîìåòðèè â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å.  äàííîì                           îáîáùåíî ôîðìóëîé (7.11):
ïàðàãðàôå ìû ïîêàæåì, êàê ìîæíî îïðåäåëèòü êîìïîíåíòû                                                                                                          1/ 2
ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà.                                                                                                               4                
     Âûðàçèì ýíåðãèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÷åðåç ýëåìåíò                                                                         dS =  ∑ gα , β dxα dxβ                                (9.5)
                                                                                                                                    α , β =1         
èíòåðâàëà. Ñíà÷àëà ñäåëàåì ýòî â ðàìêàõ ñïåöèàëüíîé òåîðèè                                                                                           
îòíîñèòåëüíîñòè, ò.å. â îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ.                                    Äàëåå äëÿ óäîáñòâà áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç x1=x, x2=y, õ3=z,
Îãðàíè÷èìñÿ ìàëûìè ñêîðîñòÿìè, ÷òî ñóùåñòâåííî óïðîñòèò                                x4=t. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ôîðìóëà (9.4) ñ ó÷åòîì (9.5) ñïðàâåäëèâà
ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è.                                                           è ïðè íàëè÷èè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ (÷òî âïîñëåäñòâèè
     Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ ýíåðãèè ñâîáîäíî äâèæóùåéñÿ                            îïðàâäûâàåòñÿ ïîëó÷àþùèìèñÿ ñëåäñòâèÿìè), ïîëó÷èì äëÿ
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè:                                                                    âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèè ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
                                                                                                                                                   1/ 2
                     mc 2                        mc 2                                                         ∂  4                                          mc ∂
            E=                     =
                                                                                                                        ∑
                                                                                                        mc
                                                                           .                 E=−           ⋅                  gα , β dxα dxβ             =−              (g dx 2+
                                                                                                         i ∂ (dx4 )  α , β =1                                 i ∂ (dx4 ) 11 1
                            1/ 2                                    1/ 2
                  u2                  dx 2 + dy 2 + dz 2                                                                                 
                 1 − 2               1 −                                   (9.1)                                                         
                    c                      c 2 dt 2     
                                                                                    + g22dx22 + g33dx32 + g44dx42 + 2g12dx1dx2 + 2g13dx1dx3 + +2g14dx1dx4
    Ïðîâåäÿ ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ (ïðèâåñòè ê îáùåìó                                                        ++ 2g23dx2dx3 +
çíàìåíàòåëþ ïîä çíàêîì êîðíÿ, âûíåñòè èç-ïîä êîðíÿ ñdt,                                              + 2g24dx2dx4 + 2 g34dx3dx4 )1 / 2 .                                              (9.6)
ïîìåíÿòü ÷ëåíû ìåñòàìè, ââåñòè îáîçíà÷åíèå äëÿ ìíèìîé
åäèíèöû), ôîðìóëå (9.1) ìîæíî ïðèäàòü èíîé âèä:                                            Âûïîëíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, ïîëó÷èì:

                                         dt                                                                       mc g 44dx4 + g34dx3 + g 24dx2 + g14dx1
            E = mc 3                                                                                    E=−
                        (                               )
                                                                .
                                                       2 1/ 2                  (9.2)                               i         4                  
                                                                                                                                                  1/ 2
                       i dx 2 + dy 2 + dz 2 − c 2 dt                                                                        
                                                                                                                                     ∑
                                                                                                                                     g dx dx 
                                                                                                                             α , β =1 α , β α β 
                                                                                                                                                         .                            (9.7)
      Ðàññìàòðèâàÿ dx ,dy, dz, dt êaê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå,                                                                                   

212                                                                                                                                                                                           213

Страницы