Теория относительности. Учебное пособие. Розман Г.А. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

84
85
§ 13. Ðåøåíèå çàäà÷ ïî äèíàìèêå ÑÒÎ
Ðàññìîòðèì ðåøåíèå ðÿäà òèïè÷íûõ çàäà÷ íà ôîðìóëó
Ýéíøòåéíà è ñëåäñòâèÿ, âûòåêàþùèå èç íåå.
Çàäà÷à ¹ 1.
Íà ñêîëüêî óâåëè÷èòñÿ ìàññà 1 êã âîäû ïðè íàãðåâàíèè åå îò
0°Ñ äî 100° Ñ?
Íàéòè:
m∆
Äàíî:
ÊêãêÄæñ
ñìc
Ct
êãm
ð
⋅=
⋅=
=∆
=
/2,4
/103
100
1
8
0
Ðåøåíèå
Âûáåðåì òàêóþ ÈÑÎ, â êîòîðîé âîäà áûëà áû íåïîäâèæíà,
ýòî èçáàâèò íàñ îò íåîáõîäèìîñòè ó÷èòûâàòü äîïîëíèòåëüíóþ
êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âîäû. Íàçîâåì èçáðàííóþ ÈÑÎ
Ëàáîðàòîðèÿ.
Èç ôîðìóëû Ýéíøòåéíà E
0
=mc
2
íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò,
÷òî åñëè ýíåðãèÿ òåëà óâåëè÷èâàåòñÿ íà
Å∆
(â íàøåì ñëó÷àå
âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ âîäû óâåëè÷èâàåòñÿ çà ñ÷åò ïðèòîêà ýíåðãèè
èç-çà ïðîöåññà, êîòîðûé ìû íàçûâàåì íàãðåâàíèåì), òî
óâåëè÷èâàåòñÿ è åå ìàññà íà âåëè÷èíó
.
2
c
E
m
∆
=∆
(Âíèìàíèå!
Âåëè÷èíà
m∆
â äàííîé çàäà÷å íå ÿâëÿåòñÿ äåôåêòîì ìàññû, à ëèøü
îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå ìàññû òåëà â ðåçóëüòàòå íàãðåâàíèÿ.)
Óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè âîäû ìîæíî îïðåäåëèòü ïî
ôîðìóëå:
tmcE
p
∆=∆
. Òàêèì îáðàçîì
kã
c
tmc
m
p
12
2
107,4
−
⋅=
∆
=∆
Êîíå÷íî, èçìåíåíèå ìàññû âîäû îêàçàëîñü áåñêîíå÷íî ìà-
ëûì. Íî åñëè ñðàâíèòü ýòó âåëè÷èíó ñ ìàññîé ýëåêòðîíà
ãäå U  ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ âñåõ
÷àñòèö ãàçà.
Åñëè ÷àñòèöû ãàçà îáðàçóþò óñòîé÷èâóþ ñèñòåìó, òî ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ èõ (âòîðîé ÷ëåí â
(12.7)) ìåíüøå èõ ïîëíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïîýòîìó
îòáðîñèì âòîðîé ÷ëåí â (12.7) è äëÿ ìàññû ñèñòåìû
âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:
.
2
c
U
mM
i
i
+=
∑
(12.8)
Òàê êàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö
ïðèâîäèò ê óñòîé÷èâîé ñèñòåìå, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöû
ïðèòÿãèâàþò äðóã äðóãà. Íî ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ (êóëîíîâñêàÿ
ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ ðàçíîèìåííûõ çàðÿäîâ èëè ãðàâèòàöèîííàÿ
ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ äâóõ òåë) âñåãäà âåëè÷èíà îòðèöàòåëüíàÿ, ò.å.
U<0. Ñ ó÷åòîì ýòîãî çàìå÷àíèÿ, ïåðåïèøåì ôîðìóëó (12.8) òàê:
0
2
>=−
∑
c
U
Mm
i
i
, (12.9)
ãäå ó÷òåíî, ÷òî âåëè÷èíà U<0.
Òàêèì îáðàçîì, è â ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñî-
áîé ÷àñòèö, îáðàçóþùèõ ïðè ýòîì óñòîé÷èâóþ ñèñòåìó, ìàññà
ñèñòåìû ÷àñòèö Ì íå ðàâíà ñóììå ìàññ îòäåëüíûõ ÷àñòèö.
Ðàçíîñòü
mMm
i
i
∆=−
∑
(12.10)
ïîëó÷èëà íàçâàíèå äåôåêòà ìàññû, à âåëè÷èíà
Ucm =⋅∆
2
ýíåðãèè ñâÿçè ÷àñòèö ñèñòåìû.
Óñòàíîâëåííîå íàìè ñîîòíîøåíèå (12.9) èìååò ìíîãîêðàòíîå
ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå è ïîçâîëÿåò òåîðåòè÷åñêè
ðàññ÷èòûâàòü ýíåðãèþ ñâÿçè ñèñòåì ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö è,
ñîîòâåòñòâåííî, òó âíóòðèÿäåðíóþ ýíåðãèþ, êîòîðàÿ ìîæåò
âûñâîáîäèòüñÿ ïðè äåëåíèè òÿæåëûõ è ñèíòåçå ëåãêèõ ÿäåð, ýòà
ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ÿäåðíîé ýíåðãåòèêè, îñíîâîé íàó÷íî-
òåõíè÷åñêîé ðåâîëþöèè âòîðîé ïîëîâèíû ÕÕ âåêà.
ãäå U — ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ âñåõ                        § 13. Ðåøåíèå çàäà÷ ïî äèíàìèêå ÑÒÎ
÷àñòèö ãàçà.
     Åñëè ÷àñòèöû ãàçà îáðàçóþò óñòîé÷èâóþ ñèñòåìó, òî ýòî            Ðàññìîòðèì ðåøåíèå ðÿäà òèïè÷íûõ çàäà÷ íà ôîðìóëó
îçíà÷àåò, ÷òî ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ èõ (âòîðîé ÷ëåí â     Ýéíøòåéíà è ñëåäñòâèÿ, âûòåêàþùèå èç íåå.
(12.7)) ìåíüøå èõ ïîëíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïîýòîìó
îòáðîñèì âòîðîé ÷ëåí â (12.7) è äëÿ ìàññû ñèñòåìû                                           Çàäà÷à ¹ 1.
âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:                    Íà ñêîëüêî óâåëè÷èòñÿ ìàññà 1 êã âîäû ïðè íàãðåâàíèè åå îò
                                                                   0°Ñ äî 100° Ñ?
                 M = ∑ mi +
                              U
                                   .                    (12.8)
                              c2
                      i
                                                                   Íàéòè:     ∆m
    Òàê êàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö
ïðèâîäèò ê óñòîé÷èâîé ñèñòåìå, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöû                    m = 1êã
ïðèòÿãèâàþò äðóã äðóãà. Íî ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ (êóëîíîâñêàÿ                     ∆t = 100 0 C
ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ ðàçíîèìåííûõ çàðÿäîâ èëè ãðàâèòàöèîííàÿ
                                                                   Äàíî:       c = 3 ⋅ 108 ì / ñ                      Ðåøåíèå
ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ äâóõ òåë) âñåãäà âåëè÷èíà îòðèöàòåëüíàÿ, ò.å.
U<0. Ñ ó÷åòîì ýòîãî çàìå÷àíèÿ, ïåðåïèøåì ôîðìóëó (12.8) òàê:                   ñ ð = 4,2êÄæ / êã ⋅ Ê

                              U                                         Âûáåðåì òàêóþ ÈÑÎ, â êîòîðîé âîäà áûëà áû íåïîäâèæíà,
                 ∑ mi − M = c 2    > 0,                 (12.9)     ýòî èçáàâèò íàñ îò íåîáõîäèìîñòè ó÷èòûâàòü äîïîëíèòåëüíóþ
                  i
                                                                   êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âîäû. Íàçîâåì èçáðàííóþ ÈÑÎ
ãäå ó÷òåíî, ÷òî âåëè÷èíà U<0.                                      “Ëàáîðàòîðèÿ”.
     Òàêèì îáðàçîì, è â ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñî-              Èç ôîðìóëû Ýéíøòåéíà E0=mc2 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò,
áîé ÷àñòèö, îáðàçóþùèõ ïðè ýòîì óñòîé÷èâóþ ñèñòåìó, ìàññà          ÷òî åñëè ýíåðãèÿ òåëà óâåëè÷èâàåòñÿ íà ∆Å (â íàøåì ñëó÷àå
ñèñòåìû ÷àñòèö Ì íå ðàâíà ñóììå ìàññ îòäåëüíûõ ÷àñòèö.             âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ âîäû óâåëè÷èâàåòñÿ çà ñ÷åò ïðèòîêà ýíåðãèè
Ðàçíîñòü                                                           èç-çà ïðîöåññà, êîòîðûé ìû íàçûâàåì “íàãðåâàíèåì”), òî
                 ∑ mi − M = ∆m                          (12.10)    óâåëè÷èâàåòñÿ è åå ìàññà íà âåëè÷èíó ∆m =
                                                                                                                               ∆E
                                                                                                                                    . (Âíèìàíèå!
                  i
                                                                                                                               c2
ïîëó÷èëà íàçâàíèå äåôåêòà ìàññû, à âåëè÷èíà ∆m ⋅ c 2 = U —         Âåëè÷èíà ∆m â äàííîé çàäà÷å íå ÿâëÿåòñÿ äåôåêòîì ìàññû, à ëèøü
ýíåðãèè ñâÿçè ÷àñòèö ñèñòåìû.                                      îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå ìàññû òåëà â ðåçóëüòàòå íàãðåâàíèÿ.)
    Óñòàíîâëåííîå íàìè ñîîòíîøåíèå (12.9) èìååò ìíîãîêðàòíîå           Óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè âîäû ìîæíî îïðåäåëèòü ïî
ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå è ïîçâîëÿåò òåîðåòè÷åñêè           ôîðìóëå: ∆E = mc p ∆t . Òàêèì îáðàçîì
ðàññ÷èòûâàòü ýíåðãèþ ñâÿçè ñèñòåì ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö è,
                                                                                                 mc p ∆t
ñîîòâåòñòâåííî, òó âíóòðèÿäåðíóþ ýíåðãèþ, êîòîðàÿ ìîæåò                                   ∆m =             = 4,7 ⋅ 10 −12 kã
âûñâîáîäèòüñÿ ïðè äåëåíèè òÿæåëûõ è ñèíòåçå ëåãêèõ ÿäåð, ýòà                                       c2
ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ÿäåðíîé ýíåðãåòèêè, îñíîâîé íàó÷íî-          Êîíå÷íî, èçìåíåíèå ìàññû âîäû îêàçàëîñü áåñêîíå÷íî ìà-
òåõíè÷åñêîé ðåâîëþöèè âòîðîé ïîëîâèíû ÕÕ âåêà.                     ëûì. Íî åñëè ñðàâíèòü ýòó âåëè÷èíó ñ ìàññîé ýëåêòðîíà

84                                                                                                                                           85

Страницы