ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
166
167
20 ëåò ïðîáëåìîé òÿãîòåíèÿ çàíèìàëñÿ âåëèêèé àíãëèéñêèé
ôèçèê Èñààê Íüþòîí (1643-1727). Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàáîòû áûëà
ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî åãî ðàñ÷åòû äàâàëè âåëè÷èíû, äàæå ãðóáî íå
ñîâïàäàþùèå ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè. Íî ê 1684 ã. áûëè
óòî÷íåíû íåîáõîäèìûå äëÿ ðàñ÷åòîâ âåëè÷èíû - ðàäèóñ Çåìëè è
ñðåäíåå ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ëóíû. È òîãäà ïåðåðàñ÷åò äàë
õîðîøåå ñîâïàäåíèå òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ âåëè÷èí.
Ýòîò ãîä è ïðèíèìàåòñÿ çà äàòó îòêðûòèÿ çàêîíà Âñåìèðíîãî
òÿãîòåíèÿ. Íüþòîí íà÷àë ñ òîãî, ÷òî ðàññìîòðåë äâèæåíèå Ëóíû
âîêðóã Çåìëè. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ãþéãåíñà äëÿ
öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ óñêîðåíèå Ëóíû ðàâíî à
ë
=
ω
2
R,
ãäå
ω
-óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Ëóíû, R - ðàäèóñ åå îðáèòû.
Ñîñòàâèì îòíîøåíèå öåíòðîñòðåìèòåëüíûõ óñêîðåíèé äâóõ
òåë, îäíî èç íèõ ïóñòü íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, âòîðûì
òåëîì áóäåò Ëóíà.
Òîãäà a
ç
=
ω
ç
2
R
ç
, à
ë
=
ω
ë
2
R
ë
è îòíîøåíèå ýòèõ ðàâåíñòâ
.
2
ëë
çç
ë
ç
R
R
à
à
ω
ω
=
(*)
Ò.ê.
Ò
π
πνω
2
2
==
, òî
ç
ë
ë
ç
Ò
Ò
=
ω
ω
èëè
.
2
2
2
2
ç
ë
ë
ç
Ò
Ò
=
ω
ω
Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ êâàäðàòà
óãëîâûõ ñêîðîñòåé â ôîðìóëó (*):
ëç
çë
ç
ë
R
Ò
R
Ò
à
à
2
2
=
.
Âîñïîëüçóåìñÿ 3-èì çàêîíîì Êåïëåðà, ñîãëàñíî êîòîðîìó
.
3
3
2
2
ë
ç
ë
ç
R
R
Ò
Ò
=
Îáúåäèíÿÿ ïîñëåäíèå äâà ðàâåíñòâà, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
.
2
2
ç
ë
ë
ç
R
R
à
à
=
Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ Íüþòîí äåëàåò âûâîä, ÷òî
öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå, ïðèîáðåòàåìîå òåëîì ïîä
äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû - ñèëû òÿãîòåíèÿ, îáðàòíî
ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ òåëà äî èñòî÷íèêà
òÿãîòåíèÿ.
Ñëåäóþùèé øàã â âûâîäå çàêîíà òÿãîòåíèÿ áûë òàêîé. Âñå
òåëà íà Çåìëå ïàäàþò ñ îäíèì è òåì æå óñêîðåíèåì íåçàâèñèìî
îò èõ ìàññû (ýòîò ôàêò óñòàíîâèë åùå Ãàëèëåé). Ïî âòîðîìó
çàêîíó ìåõàíèêè, êîòîðóþ ïîñòðîèë ñàì Íüþòîí, óñêîðåíèå
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
.
m
F
à
=
Íî åñëè óñêîðåíèå íå çàâèñèò îò ìàññû òåëà, çíà÷èò ñàìà
ñèëà F äîëæíà áûòü ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ýòîé ìàññå. Îòñþäà
ïîëó÷àåì, ÷òî ñèëà òÿãîòåíèÿ F ~ m. Îáúåäèíÿÿ îáà âûâîäà,
êîòîðûå Íüþòîí ïîëó÷èë, àíàëèçèðóÿ äâèæåíèå Ëóíû âîêðóã
Çåìëè, ïîëó÷àåì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ çàêîíà Âñåìèðíîãî
òÿãîòåíèÿ:
.~
2
R
m
F
òÿã
Íî òàê êàê ïî òðåòüåìó çàêîíó ìåõàíèêè ñèëà äåéñòâèÿ Çåìëè
íà Ëóíó è ïðîòèâîäåéñòâèÿ Ëóíû íà Çåìëþ ÷èñëåííî ðàâíû äðóã
äðóãó, òî ñèëà òÿãîòåíèÿ äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà ìàññàì
è Çåìëè, è Ëóíû, îáîèõ òÿãîòåþùèõ òåë.
Èòàê, ñèëà òÿãîòåíèÿ ìåæäó äâóìÿ òåëàìè áóäåò
ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ ìàññ òÿãîòåþùèõ òåë è îáðàòíî
ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè (òåëà
ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ìàòåðèàëüíûå òî÷êè. Êñòàòè, è çàêîíû
ìåõàíèêè òîæå ñïðàâåäëèâû äëÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê!):
.~
2
21
21
−
⋅
R
mm
F
òÿã
Ãåíèàëüíîñòü È. Íüþòîíà ïðîÿâèëàñü â òîì, ÷òî îí
ðàñïðîñòðàíèë äåéñòâèå óñòàíîâëåííîãî èì çàêîíà òÿãîòåíèÿ íà
âñå òåëà Âñåëåííîé, â òîì ÷èñëå è íà íàõîäÿùèõñÿ íà Çåìëå.
20 ëåò ïðîáëåìîé òÿãîòåíèÿ çàíèìàëñÿ âåëèêèé àíãëèéñêèé Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ Íüþòîí äåëàåò âûâîä, ÷òî
ôèçèê Èñààê Íüþòîí (1643-1727). Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàáîòû áûëà öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå, ïðèîáðåòàåìîå òåëîì ïîä
ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî åãî ðàñ÷åòû äàâàëè âåëè÷èíû, äàæå ãðóáî íå äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû - ñèëû òÿãîòåíèÿ, îáðàòíî
ñîâïàäàþùèå ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè. Íî ê 1684 ã. áûëè ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ òåëà äî èñòî÷íèêà
óòî÷íåíû íåîáõîäèìûå äëÿ ðàñ÷åòîâ âåëè÷èíû - ðàäèóñ Çåìëè è òÿãîòåíèÿ.
ñðåäíåå ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ëóíû. È òîãäà ïåðåðàñ÷åò äàë Ñëåäóþùèé øàã â âûâîäå çàêîíà òÿãîòåíèÿ áûë òàêîé. Âñå
õîðîøåå ñîâïàäåíèå òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ âåëè÷èí. òåëà íà Çåìëå ïàäàþò ñ îäíèì è òåì æå óñêîðåíèåì íåçàâèñèìî
îò èõ ìàññû (ýòîò ôàêò óñòàíîâèë åùå Ãàëèëåé). Ïî âòîðîìó
Ýòîò ãîä è ïðèíèìàåòñÿ çà äàòó îòêðûòèÿ çàêîíà Âñåìèðíîãî
çàêîíó ìåõàíèêè, êîòîðóþ ïîñòðîèë ñàì Íüþòîí, óñêîðåíèå
òÿãîòåíèÿ. Íüþòîí íà÷àë ñ òîãî, ÷òî ðàññìîòðåë äâèæåíèå Ëóíû
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
âîêðóã Çåìëè. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ãþéãåíñà äëÿ
öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ óñêîðåíèå Ëóíû ðàâíî àë = ω 2R, F
à= .
ãäå ω -óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Ëóíû, R - ðàäèóñ åå îðáèòû. m
Ñîñòàâèì îòíîøåíèå öåíòðîñòðåìèòåëüíûõ óñêîðåíèé äâóõ Íî åñëè óñêîðåíèå íå çàâèñèò îò ìàññû òåëà, çíà÷èò ñàìà
òåë, îäíî èç íèõ ïóñòü íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, âòîðûì ñèëà F äîëæíà áûòü ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ýòîé ìàññå. Îòñþäà
ïîëó÷àåì, ÷òî ñèëà òÿãîòåíèÿ F ~ m. Îáúåäèíÿÿ îáà âûâîäà,
òåëîì áóäåò Ëóíà.
êîòîðûå Íüþòîí ïîëó÷èë, àíàëèçèðóÿ äâèæåíèå Ëóíû âîêðóã
Òîãäà aç = ω ç2Rç, àë = ω ë2Rë è îòíîøåíèå ýòèõ ðàâåíñòâ
Çåìëè, ïîëó÷àåì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ çàêîíà Âñåìèðíîãî
à ç ω ç2 Rç òÿãîòåíèÿ:
= . (*)
à ë ω ë Rë m
Fòÿã ~ .
R2
2π ωç Ò ë ω ç2 Ò ë2
Ò.ê. ω = 2πν = , òî ω = Ò èëè 2 = 2 . Íî òàê êàê ïî òðåòüåìó çàêîíó ìåõàíèêè ñèëà äåéñòâèÿ Çåìëè
Ò ë ç ωë Òç
íà Ëóíó è ïðîòèâîäåéñòâèÿ Ëóíû íà Çåìëþ ÷èñëåííî ðàâíû äðóã
Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ êâàäðàòà äðóãó, òî ñèëà òÿãîòåíèÿ äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà ìàññàì
óãëîâûõ ñêîðîñòåé â ôîðìóëó (*): è Çåìëè, è Ëóíû, îáîèõ òÿãîòåþùèõ òåë.
à ë Ò ë2 Rç Èòàê, ñèëà òÿãîòåíèÿ ìåæäó äâóìÿ òåëàìè áóäåò
= ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ ìàññ òÿãîòåþùèõ òåë è îáðàòíî
à ç Ò ç2 Rë .
ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè (òåëà
Âîñïîëüçóåìñÿ 3-èì çàêîíîì Êåïëåðà, ñîãëàñíî êîòîðîìó ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ìàòåðèàëüíûå òî÷êè. Êñòàòè, è çàêîíû
Ò ç2 Rç3 ìåõàíèêè òîæå ñïðàâåäëèâû äëÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê!):
= .
Ò ë2 Rë3 m1 ⋅ m2
Fòÿã ~ .
Îáúåäèíÿÿ ïîñëåäíèå äâà ðàâåíñòâà, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì R12− 2
2 Ãåíèàëüíîñòü È. Íüþòîíà ïðîÿâèëàñü â òîì, ÷òî îí
à ç Rë ðàñïðîñòðàíèë äåéñòâèå óñòàíîâëåííîãî èì çàêîíà òÿãîòåíèÿ íà
= .
à ë Rç2 âñå òåëà Âñåëåííîé, â òîì ÷èñëå è íà íàõîäÿùèõñÿ íà Çåìëå.
166 167
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
