Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

55
,dmdVdxS =ρ=ρ
где -
ρ
плотность вещества стрежня. Тогда количество выделившейся
энергии можно представить так:
,dTdmCdQ
V
= (108)
где
V
C - удельная энергоемкость вещества стержня.
Объединяя (107) и (108), получаем:
или
,
,
2
2
2
2
x
T
t
T
dtdxS
x
T
dTdxSC
V
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
η
χρ
(109)
где
ρ
χ
η
V
С
=
- коэффициент температуро - проводности стержня.
Итак,
,Tgraddiv
t
T
η
=
∂
∂
(110)
где учтено, что
.
2
2
Tgraddiv
x
T
x
x
T
xx
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Если иметь ввиду, что TCu
V
= - удельная внутренняя энергия, то
можно ввести плотность потока энергии (при наличии градиента тем-
пературы) -
,
T
j
r
тогда уравнение (110) перепишется так:
,
T
jdiv
t
u
r
−=
∂
∂
ρ
(111)
или для всей системы (U=
u
ρ
):
.
T
jdiv
t
U
r
−=
∂
∂
(112)
Уравнение (112) говорит о том, что скорость изменения внутрен-
ней энергии во времени равна (по модулю) расходимости потока энер-
гии при наличии градиента температуры. Если grad T =0, то и
,0=
T
j
r
и
мы получаем утверждение закона сохранения и превращения энергии:
U = const.
                                                                      55

                        ρ S dx = ρ dV = dm ,
где - ρ плотность вещества стрежня. Тогда количество выделившейся
энергии можно представить так:
                     dQ = CV dm dT ,                          (108)
где CV - удельная энергоемкость вещества стержня.
    Объединяя (107) и (108), получаем:

                                           ∂ 2T
                    CV ρ S dx dT = χ              S dx dt ,
                                           ∂x 2
или                  ∂T   ∂ 2T                                (109)
                        =η 2 ,
                     ∂t   ∂x

          χ
где η = С ρ - коэффициент температуро - проводности стержня.
         V
      Итак,
                     ∂T
                        = η div grad T ,                      (110)
                     ∂t

                  ∂ 2T       ∂ ∂T
где учтено, что          =         = div x grad x T .
                  ∂x 2       ∂x ∂x
     Если иметь ввиду, что u = CV T - удельная внутренняя энергия, то
можно ввести плотность потока энергии (при наличии градиента тем-
             r
пературы) - jT , тогда уравнение (110) перепишется так:
                    ∂u         r
                     ρ = − div jT ,                           (111)
                    ∂t
или для всей системы (U= ρu ):
                   ∂U          r
                       = − div jT .                         (112)
                    ∂t
     Уравнение (112) говорит о том, что скорость изменения внутрен-
ней энергии во времени равна (по модулю) расходимости потока энер-
                                                            r
гии при наличии градиента температуры. Если grad T =0, то и jT = 0, и
мы получаем утверждение закона сохранения и превращения энергии:
                            U = const.

Страницы