Термодинамика и статистическая физика. Розман Г.А. - 56 стр.

                                                                              56

                Уравнение для потока вещества

     Рассмотрим простейший стационарный одномерный случай изо-
термического потока вещества при наличии градиента давления. Пусть
для общности имеется градиент концентрации. Составим баланс пото-
ков вещества по указанным двум причинам. В выделенный слой толщи-
ны dx из-за наличия градиента давления за единицу времени поступит
количество вещества:
                            dm1 = v S c dt.
     За счет диффузии (из-за градиента концентрации) поступит:
                                  ∂c
                               dm 2 = − D
                                     S dt.
                                  ∂x
     За то же время слой покинет из-за наличия градиента давления
масса:
                                 ⎛     ∂c ⎞
                      dm 3 = v S ⎜ c +   dx ⎟ dt.
                                 ⎝     ∂x ⎠
     Благодаря же диффузии из слоя выходит масса:
                               ⎡ ∂c ∂ ⎛ ∂c ⎞ ⎤
                    dm 4 = − D ⎢ + ⎜ ⎟dx ⎥ S dt .
                               ⎣ ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎦
     С другой стороны, общее изменение массы в выделенном слое про-
изойдет на величину:
                               ∂c
                                dM =
                                  dt S dx.
                               ∂t
     Это же изменение массы в слое мы получим, складывая алгебраи-
чески предыдущие четыре формулы:
                       ∂c            ⎛     ∂c ⎞          ⎡ ∂c ∂ ⎛ ∂c ⎞ ⎤
   dM = v S c dt − D      S dt − v S ⎜ c +   dx ⎟ dt + D ⎢ + ⎜ ⎟dx ⎥ S dt .
                       ∂x            ⎝     ∂x ⎠          ⎣ ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎦
     После раскрытия скобок, сокращения всех членов на общий мно-
житель Sdt и приведения подобных членов, получаем:
                 ∂с      r
                     = − v grad c + D div grad c.                     (113)
                  ∂t
     Воспользуемся формулой векторного анализа:
                            r    r                r
                      div(ϕa ) = a grad ϕ + ϕ div a.