Механика. Исследование деформации изгиба балки и определение модуля Юнга. Рудин А.В - 14 стр.

     Подставляя полученное выражение (32) в уравнение (18), получим:

                    F ⋅ 24 l x 2 dx 12 ⋅ F l x 2 dx
                 λ=           ∫       =        ∫
                    2 E ⋅ h 3 0 z + cx E ⋅ h 3 0 z + cx
                                                        =
                                                                                     .
                   12 ⋅ F 1 ⎡ ( z + cx )
                                                                                 l
                                        2
                                                                              ⎤
                 =       ⋅   ⎢            − 2 z ( z + cx ) + z 2
                                                                 ln ( z + cx )⎥
                   E ⋅ h3 c3 ⎣     2                                          ⎦0

     Тогда, после соответствующих преобразований стрела прогиба балки
окончательно выразится уравнением:

                     6 ⋅ F ⋅ l3           ⎡                  ⎛         b ⎞⎤
            λ=                          ⋅ ⎢b02 − 4b0 z + z 2 ⎜ 3 + 2 ln 0 ⎟⎥ =
                 E ⋅ h 3 ⋅ (b0 − z )
                                    3
                                          ⎣                  ⎝          z ⎠⎦

                     6 ⋅ F ⋅ l3        ⎡      z ⎛ z⎞ ⎛
                                                      2
                                                                b ⎞⎤ . (33)
            =                      3
                                     ⋅ ⎢1 − 4 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ 3 + 2 ln 0 ⎟⎥
                            ⎛   z⎞ ⎢         b0 ⎝ b0 ⎠ ⎝         z ⎠⎦⎥
              E ⋅ h 3 ⋅ b0 ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎣
                            ⎝ b0 ⎠

      На практике для расчета модуля Юнга балки равного сопротивления
закрепленного одним концом используется приближенная упрощенная
формула:

                                      6 ⋅ F ⋅ l3
                                   E=              .                             (34)
                                      b0 ⋅ h 3 ⋅ λ

     Действительно, при z << b0 произведение скобок в правой части
уравнения (33) приблизительно равно единицы, т.е.:


                         z⎞ ⎡                             b ⎞⎤
                            −3                2
                    ⎛                 z ⎛ z⎞ ⎛
                    ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⋅ ⎢1 − 4 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ 3 + 2 ln 0 ⎟⎥ ≈ 1 .
                     ⎝ b0 ⎠ ⎢⎣       b0 ⎝ b0 ⎠ ⎝           z ⎠⎥⎦


      Для случая, когда l ≠ x , т.е. когда точка нагружения и точка
измерения деформации не совпадают, стрелу прогиба балки можно связать
с радиусом изгиба балки.


                                              14