ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15
Действительно, радиус кривизны
ρ
упругой линзы рассматриваемой
балки во всех сечениях одинаков, т.е. балка прогибается по дуге круга
(рис. 12). Из прямоугольного треугольника ОАВ имеем:
222
A
BOAOB
+
= , т. к.
ρ
<
<
λ
, то
l
≈
A
B
.
Тогда
(
)
2
2
2
l+λ−ρ=ρ
, или
2222
2 l+λ+
ρ
λ
−
ρ
=
ρ
Пренебрегая величиной
2
λ
в
сравнении с другими величинами,
получим:
2
2 l
=
ρ
λ
,
откуда
2
21
l
λ
=
ρ
. (35)
Тогда для произвольной точки измерения деформации балки стрела
прогиба определится по формуле:
2
2
1
x⋅
ρ
=λ
(36)
Подставляя выражения (35) и (34) в уравнение (36), получим:
2
3
0
2
3
0
66
x
hbE
mg
x
hbE
F
⋅
⋅⋅
⋅
⋅
=⋅
⋅⋅
⋅
⋅
=λ
ll
, (37)
которая с достаточно хорошим приближением описывает зависимость
стрелы прогиба балки от приложенной деформирующей силы F=mg .
Тогда, для модуля Юнга прямоугольной балки равного
сопротивления, закрепленного одним концом получим окончательную
формулу:
λ
⋅
⋅
⋅⋅
=
2
3
0
6 x
hb
mg
E
l
. (38)
0
В
А
Рис. 12
ρ
λ
l
ρ
-
λ
Действительно, радиус кривизны ρ упругой линзы рассматриваемой
балки во всех сечениях одинаков, т.е. балка прогибается по дуге круга
(рис. 12). Из прямоугольного треугольника ОАВ имеем:
OB 2 = OA2 + AB 2 , т. к. λ << ρ , то AB ≈ l .
l Тогда
ρ 2 = (ρ − λ ) + l 2 , или
2
ρ 2 = ρ 2 − 2ρλ + λ2 + l 2
В λ
А Пренебрегая величиной λ2 в
сравнении с другими величинами,
получим:
ρ ρ-λ
2ρλ = l 2 ,
1 2λ
откуда = . (35)
0 Рис. 12 ρ l2
Тогда для произвольной точки измерения деформации балки стрела
прогиба определится по формуле:
1
λ= ⋅ x2 (36)
2ρ
Подставляя выражения (35) и (34) в уравнение (36), получим:
6⋅F ⋅l 6 ⋅ mg ⋅ l 2
λ= ⋅ x2 = ⋅x , (37)
E ⋅ b0 ⋅ h 3
E ⋅ b0 ⋅ h 3
которая с достаточно хорошим приближением описывает зависимость
стрелы прогиба балки от приложенной деформирующей силы F=mg .
Тогда, для модуля Юнга прямоугольной балки равного
сопротивления, закрепленного одним концом получим окончательную
формулу:
6 ⋅ mg ⋅ l x 2
E= ⋅ . (38)
b0 ⋅ h 3 λ
15
