Механика. Изучение собственных колебаний сосредоточенной системы. Рудин А.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

4
где
k
- коэффициент жесткости пружины; m- масса груза; g- ускорение
свободного падения.
Основное уравнение динамики поступательного движения для этого
случая запишется в виде:
mgkx
dt
xd
m +−=
2
2
. (4)
Полагая здесь
0
kxmg += , где x
0
- растяжение пружины (статическая
деформация) под действием силы тяжести, получим:
)(
0
2
2
xxk
dt
xd
m −−=
, (5)
где x
0
= const.
Введем обозначение
10
xxx
=
−
. Тогда можно записать, что
2
2
2
1
2
dt
xd
dt
xd
=
,
и тогда уравнение (5) представится в виде
1
2
1
2
kx
dt
xd
m −= . (6)
После преобразований окончательно получим
0
1
2
0
2
1
2
=ω+ x
dt
xd
m
, (7)
или
0
1
2
01
=
ω
+
xx
&
, (8)
где
m
k
=ω
2
0
.
Для полученного однородного дифференциального уравнения
составим характеристическое уравнение. Введем новую переменную: 
где k - коэффициент жесткости пружины; m- масса груза; g- ускорение
свободного падения.
     Основное уравнение динамики поступательного движения для этого
случая запишется в виде:

                                 d 2x
                             m        = − kx + mg .          (4)
                                 dt 2

     Полагая здесь mg = + kx0 , где x0 - растяжение пружины (статическая
деформация) под действием силы тяжести, получим:

                                 d 2x
                                m 2 = − k ( x − x0 ) ,       (5)
                                 dt

где x0 = const.
    Введем обозначение x − x0 = x1 . Тогда можно записать, что

                                   d 2 x1 d 2 x
                                         = 2 ,
                                    dt 2  dt

и тогда уравнение (5) представится в виде

                                 d 2 x1
                             m          = −kx1 .             (6)
                                 dt 2

      После преобразований окончательно получим

                                d 2 x1
                            m       2
                                       + ω02 x1 = 0 ,             (7)
                                dt

или                          x&1 + ω02 x1 = 0 ,                  (8)

            k
где ω02 =     .
            m

     Для полученного однородного дифференциального уравнения
составим характеристическое уравнение. Введем новую переменную:




                                       4

Страницы