Механика. Изучение собственных колебаний сосредоточенной системы. Рудин А.В - 5 стр.

                         x = e λt ,     тогда           &x& = e λt ⋅ λ2 .

     Уравнение (7) перепишем в виде:

                λ2 ⋅ e λt + ω02 ⋅ e λt = 0 , или                 λ2 + ω02 = 0 .

     Корни характеристического уравнения:

                             λ 1 = iω 0 ,         λ 2 = −iω0 .

     Общее решение дифференциального уравнения запишется в виде:

                                    x1 = C1e iω t + C 2 e − iϖt ,
                                                  0
                                                                                  (9)

где С1 и С2 - произвольные постоянные. Описывающая колебания
функция x1 (t ) должна быть вещественной. Для этого коэффициенты С1 и
С2 нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие

                       C1∗ e − iω t + C 2∗ e iωt = C1 e iω t + C 2 e − iωt .
                                0                            0
                                                                                  (10)

(Здесь мы приравняли выражение (9) его комплексно сопряженному).
     Соотношение (9) будет выполнено, если

                          C1 = C 2∗           или            C 2 = C1∗ .          (11)

     Действительно, комплексное число в показательной форме имеет вид

                                      z = ρe iϕ .                                  (12)

     Комплексно сопряженное число

                                      z ∗ = ρe − iϕ .                             (12′)

     По формуле Эйлера выражения (12) и (12′) можно переписать в
тригонометрической форме:

               z = ρ ⋅ (cos ϕ + i sin ϕ) ,            z ∗ = ρ ⋅ (cos ϕ − i sin ϕ) . (13)




                                              5