Механика. Изучение собственных колебаний сосредоточенной системы. Рудин А.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

6
При сложении комплексных чисел складываются отдельно их
вещественные и мнимые части:
)()(
212121
yyixxzz +++=+ =
(
)
(
)
[
]
ϕ
ρ=ϕ
−
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
ρ
cos2sinsincoscos i ,
где ϕρcos2 - является вещественной частью.
Представим удовлетворяющие условию (11) коэффициенты
1
C и
2
C
в показательной форме, обозначив их модуль через
А/2, а аргумент через
ϕ :
ϕ
=
i
AeC
2
1
1
,
ϕ−
=
i
AeC
2
1
2
. (15)
Подстановка этих выражений в (9) дает
)(cos][
2
1
0
)()(
1
00
ϕ+ω=+=
ϕ+ω−ϕ+ω
tAeeAx
titi
.
Таким образом, общее решение уравнения (7) примет вид:
)(cos
01
ϕ
+
ω
=
tAx
, (16)
которое эквивалентно уравнению (1).
Поскольку косинус - периодическая
функция с периодом π2, различные
состояния системы, совершающей
гармонические колебания, повторяются
через такой промежуток времени Т, за
который фаза колебания получает
приращение, равное
π
2 (см. рис.2).
Этот промежуток времени Т
называется периодом колебания. Он
может быть определен из следующего условия:
π
+
ϕ
+
ω
=
ϕ
+
+
ω 2][])([
00
tTt ,
откуда:
Рис. 2 
     При сложении комплексных чисел складываются отдельно их
вещественные и мнимые части:

  z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y 2 ) = ρ[(cos ϕ + cos ϕ ) + i (sin ϕ − sin ϕ )] = 2ρ cos ϕ ,

где 2ρcos ϕ - является вещественной частью.
     Представим удовлетворяющие условию (11) коэффициенты C1 и C 2
в показательной форме, обозначив их модуль через А/2, а аргумент через
ϕ:

                                      1 iϕ                        1 − iϕ
                               C1 =     Ae ,              C2 =      Ae .                   (15)
                                      2                           2

      Подстановка этих выражений в (9) дает

                             1
                      x1 =     A[e i ( ω t + ϕ ) + e −i ( ω t + ϕ ) ] = Acos(ω0 t + ϕ) .
                                        0             0


                             2

      Таким образом, общее решение уравнения (7) примет вид:

                                            x1 = Acos(ω0 t + ϕ) ,                          (16)

которое эквивалентно уравнению (1).

                                               Поскольку косинус - периодическая
                                               функция с периодом 2π , различные
                                               состояния    системы,     совершающей
                                               гармонические колебания, повторяются
                                               через такой промежуток времени Т, за
                                               который фаза колебания получает
                                               приращение, равное 2π (см. рис.2).
                Рис. 2

   Этот промежуток времени Т называется периодом колебания. Он
может быть определен из следующего условия:

                              [ω0 (t + T ) + ϕ] = [ω0 t + ϕ] + 2π ,
откуда:




                                                     6

Страницы