Механика. Изучение собственных колебаний сосредоточенной системы. Рудин А.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

8
примере квадратной пирамиды, построенной на основе графика скорости.
Объем пирамиды соответствует величине кинетической энергии:
2
3
23
1
3
1
22
2
0
2
2
0
1
2
пр
υ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
υ
=υ⋅=υΔ=
∑
=
m
m
m
x
m
E
n
i
xi
i
к
i
l
l
.
Здесь:
∑
=
υΔ
n
i
x
i
x
1
2
=V - объем пирамиды;
l
l
m
m
=
0
- масса элемента пружины;
0
m - масса пружины; l - длина пружины.
Тогда полная кинетическая энергия маятника определится:
2
3
2
0
υ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
m
m
E
к
,
где
3
0
m
m + - эффективная масса пружинного маятника.
Подставляя выражение для эффективной массы пружинного
маятника в уравнение (20) для периода колебаний маятника с учетом
массы пружины получим уравнение:
m
m
T
k
m
m
T
3
1
3
2
0
0
0
+=
+
π= , (20′)
где
k
m
T π= 2
0
- собственная частота пружинного маятника, без учета
массы пружины.
Рассмотренный выше случай является идеализированным, так
как в реальных условиях всегда существуют силы трения и
сопротивления (например, в подвесе, в воздухе), которые приводят к
диссипации энергии и затуханию колебаний.
При наличии сил сопротивления
r
F
, которые при небольших
скоростях
υ можно считать пропорциональными скорости, т. е.
υ
⋅
−
=
rF
r
, (21) 
примере квадратной пирамиды, построенной на основе графика скорости.
Объем пирамиды соответствует величине кинетической энергии:

                                                            ⎛ m0 ⎞ 2
                                                            ⎜ ⎟υ
                              mi n         m0 1 2   1 mυ 2 ⎝ 3 ⎠
                   Eк        = ∑ Δxi υ x =
                                       2
                                             ⋅ υ l=       =          .
                        пр
                              2 i =1    i
                                           2l 3     3 2        2

           n
                                     m0
Здесь:     ∑ Δxυ
         i =1
                   2
                   xi                    = ml - масса элемента пружины;
                        =V - объем пирамиды;
                                       l
m0 - масса пружины; l - длина пружины.
      Тогда полная кинетическая энергия маятника определится:

                                            ⎛    m ⎞ 2
                                            ⎜ m + 0 ⎟υ
                                                  3 ⎠
                                       Eк = ⎝          ,
                                                 2
        m0
где m +    - эффективная масса пружинного маятника.
        3
     Подставляя выражение для эффективной массы пружинного
маятника в уравнение (20) для периода колебаний маятника с учетом
массы пружины получим уравнение:

                                                 m0
                                            m+
                                  T = 2π         3 = T 1 + m0 ,          (20′)
                                                      0
                                               k           3m
             m
где      T0 = 2π- собственная частота пружинного маятника, без учета
              k
массы пружины.
     Рассмотренный выше случай является идеализированным, так
как в реальных условиях всегда существуют силы трения и
сопротивления (например, в подвесе, в воздухе), которые приводят к
диссипации энергии и затуханию колебаний.
     При наличии сил сопротивления Fr , которые при небольших
скоростях υ можно считать пропорциональными скорости, т. е.

                                            Fr = −r ⋅ υ ,                (21)




                                                 8

Страницы