Механика. Изучение собственных колебаний сосредоточенной системы. Рудин А.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

9
уравнение движения (6) несколько видоизменится:
υ−−= rkx
dt
xd
m
1
2
2
, (22)
где
dt
dx
=υ , а r - постоянная величина, коэффициент сопротивления.
Тогда уравнение (22) примет вид
02
2
0
2
2
=ω+β+ x
d
t
dx
d
t
xd
, (23)
где
m
r
2
=β - коэффициент затухания,
m
k
=ω
0
- циклическая частота.
Решение этого линейного дифференциального уравнения найдем
аналогично уравнению (6), которое запишется в виде:
)cos(
0
ϕ
+
ω
⋅
=
β−
teAx
t
, (24)
где
22
0
β−ω=ω - циклическая частота затухающих колебаний, которые
не являются периодическими;
t
eAA
β−
=
0
- амплитуда колебаний, зависящая
от времени, которая убывает по экспоненциальному закону; A
0
- начальная
амплитуда при t=0.
Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам
времени, отличающихся на один период, равно:
T
Tt
t
e
A
A
β
+
= . (25)
Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм -
логарифмическим декрементом затухания
T
A
A
Tt
t
β==θ
+
ln . (26) 
уравнение движения (6) несколько видоизменится:

                                 d 2x
                             m        = −kx1 − rυ ,           (22)
                                 dt 2

           dx
где     υ=     , а r - постоянная величина, коэффициент сопротивления.
            dt
      Тогда уравнение (22) примет вид

                            d 2x      dx
                               2
                                 + 2β    + ω02 x = 0 ,        (23)
                            dt        dt

       r                               k
где β =   - коэффициент затухания, ω0 = - циклическая частота.
      2m                               m
     Решение этого линейного дифференциального уравнения найдем
аналогично уравнению (6), которое запишется в виде:

                            x = A0 e − βt ⋅ cos(ωt + ϕ) ,    (24)

где ω = ω02 − β 2 - циклическая частота затухающих колебаний, которые
не являются периодическими; A = A0 e − βt - амплитуда колебаний, зависящая
от времени, которая убывает по экспоненциальному закону; A0- начальная
амплитуда при t=0.
      Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам
времени, отличающихся на один период, равно:

                               At
                                    = e βT .                 (25)
                              At +T

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм -
логарифмическим декрементом затухания

                                        At
                              θ = ln         = βT .          (26)
                                       At +T




                                         9

Страницы