ВУЗ:
Рубрика:
2 §1. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÒÑÄÙ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
óÕÍÍÁ n ÐÅÒ×ÙÈ ÞÌÅÎÏ× ÒÑÄÁ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-Ê ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÒÑÄÁ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ S
n
, ÔÏ ÅÓÔØ
S
n
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ . . . + a
n−1
+ a
n
.
þÁÓÔÉÞÎÁÑ ÓÕÍÍÁ S
n
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n. éÓÈÏÄÑ ÉÚ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÓÕÍÍÙ, ÉÍÅÅÍ
S
1
= a
1
,
S
2
= a
1
+ a
2
,
S
3
= a
1
+ a
2
+ a
3
,
. . . . . . . . . . . . . . .
S
n
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ . . . + a
n
.
åÓÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ÒÑÄÁ (1)
S
1
, S
2
, S
3
, . . . , S
n
, S
n+1
, S
n+2
, . . .
ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÐÒÅÄÅÌ, ÔÏ ÅÓÔØ
lim
n→∞
S
n
= S,
ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÞÉÓÌÏ S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÍ-
ÍÏÊ ÓÈÏÄÑÝÅÇÏÓÑ ÒÑÄÁ (1). åÓÌÉ ÖÅ lim
n→∞
S
n
= ∞ ÉÌÉ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ
ÒÑÄ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌÁ ÇÏ×ÏÒÉÔØ
Ï ÅÇÏ ÓÕÍÍÅ.
ðÒÉÍÅÒ 3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
(2) 1 + q + q
2
+ q
3
+ . . . + q
n−1
+ q
n
+ . . . =
∞
X
n=1
q
n−1
.
òÅÛÅÎÉÅ: òÑÄ (2) ÅÓÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÑ, ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ËÏÔÏ-
ÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ q. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÐÅÒ×ÙÈ n ÞÌÅÎÏ× ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓ-
ÓÉÉ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (ÐÒÉ q 6= 1)
1 + q + q
2
+ q
3
+ . . . + q
n−1
= S
n
=
1 − q
n
1 − q
.
åÓÌÉ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ q ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÅÄÉÎÉ-
ÃÙ, ÔÏ ÅÓÔØ |q| < 1, ÔÏ lim
n→∞
q
n
= 0 É
lim
n→∞
S
n
= lim
n→∞
1 − q
n
1 − q
= lim
n→∞
1
1 − q
−
q
n
1 − q
=
1
1 − q
.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÒÉ |q| < 1 ÒÑÄ (2) ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÅÇÏ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ
1
1−q
.
2 §1. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÒÑÄÙ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
óÕÍÍÁ n ÐÅÒ×ÙÈ ÞÌÅÎÏ× ÒÑÄÁ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-Ê ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÒÑÄÁ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ Sn , ÔÏ ÅÓÔØ
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an−1 + an .
þÁÓÔÉÞÎÁÑ ÓÕÍÍÁ Sn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n. éÓÈÏÄÑ ÉÚ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÓÕÍÍÙ, ÉÍÅÅÍ
S1 = a1 ,
S2 = a1 + a2 ,
S3 = a1 + a2 + a3 ,
. . . . . . . . . . . . . . .
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + a n .
åÓÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ÒÑÄÁ (1)
S1 , S2, S3, . . . , Sn , Sn+1, Sn+2, . . .
ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÐÒÅÄÅÌ, ÔÏ ÅÓÔØ
lim Sn = S,
n→∞
ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÞÉÓÌÏ S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÍ-
ÍÏÊ ÓÈÏÄÑÝÅÇÏÓÑ ÒÑÄÁ (1). åÓÌÉ ÖÅ lim Sn = ∞ ÉÌÉ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ
n→∞
ÒÑÄ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌÁ ÇÏ×ÏÒÉÔØ
Ï ÅÇÏ ÓÕÍÍÅ.
ðÒÉÍÅÒ 3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
2 3 n−1 n
(2) 1 + q + q + q + ...+ q + q + ... = q n−1.
n=1
òÅÛÅÎÉÅ: òÑÄ (2) ÅÓÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÑ, ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ËÏÔÏ-
ÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ q. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÐÅÒ×ÙÈ n ÞÌÅÎÏ× ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓ-
ÓÉÉ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (ÐÒÉ q 6= 1)
2 3 n−1 1 − qn
1 + q + q + q + ...+ q = Sn = .
1−q
åÓÌÉ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ q ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÅÄÉÎÉ-
ÃÙ, ÔÏ ÅÓÔØ |q| < 1, ÔÏ lim q n = 0 É
n→∞
1 − qn qn
1 1
lim Sn = lim = lim − = .
n→∞ n→∞ 1 − q n→∞ 1 − q 1−q 1−q
1
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÒÉ |q| < 1 ÒÑÄ (2) ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÅÇÏ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ 1−q .
