ВУЗ:
Рубрика:
§1. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÒÑÄÙ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ 3
ðÒÉ q = 1, S
n
= 1 + 1 + . . . + 1 + 1 = n, lim
n→∞
S
n
= ∞; ÐÒÉ q = −1 ÐÏÓÌÅÄÏ-
×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1, 0, 1, 0, 1, . . . É ÎÅ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ ÎÉ Ë
ËÁËÏÍÕ ÐÒÅÄÅÌÕ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÉ q = 1 É ÐÒÉ q = −1 ÒÑÄ (2) ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
åÓÌÉ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ q > 1, ÔÏ lim
n→∞
q
n
= ∞,
ÐÏÜÔÏÍÕ lim
n→∞
S
n
= ∞. òÑÄ (2) × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. åÓÌÉ q < −1, ÔÏ
lim
n→∞
q
n
ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É lim
n→∞
S
n
É, ÚÎÁÞÉÔ, ÒÑÄ (2)
ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
éÔÁË, ÐÒÉ |q| < 1 ÒÑÄ (2) ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÐÒÉ |q| > 1 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉÍÅÒ 4. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
1 − 1 + 1 − 1 + . . . =
∞
X
n=1
(−1)
n−1
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ S
2m−1
= 1, S
2m
= 0 ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ m, ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {S
n
} ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÐÒÅÄÅÌÁ ÐÒÉ n → ∞.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÑÄ
∞
P
n=1
(−1)
n−1
ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÒÑÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÒÑÄÏÍ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 3 ÐÒÉ q = −1.
òÑÄ
(3) R
n
=
∞
X
k=n+1
a
k
= a
n+1
+ a
n+2
+ a
n+3
+ . . .
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-Í ÏÓÔÁÔËÏÍ ÒÑÄÁ (1) ÉÌÉ ÏÓÔÁÔËÏÍ ÐÏÓÌÅ n-ÇÏ ÞÌÅÎÁ.
òÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ Ó×ÏÉÍ ÏÓÔÁÔËÏÍ (3), ÐÏÜÔÏÍÕ
ÞÁÓÔÏ ÐÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ×ÏÐÒÏÓÁ Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ×ÍÅÓÔÏ ÎÅÇÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ-
×ÁÀÔ n-Ê ÏÓÔÁÔÏË.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÅÇÏ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ S, ÔÏ R
n
= S −S
n
,
ÔÁË ËÁË S = S
n
+ R
n
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n.
ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ ÒÑÄÁ
1
5
4
+
1
5
5
+
1
5
6
+ . . . =
∞
X
n=1
1
5
n+3
.
òÅÛÅÎÉÅ: òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÄ
1 +
1
5
+
1
5
2
+ . . . =
∞
X
n=1
1
5
n−1
.
üÔÏÔ ÒÑÄ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎ × ÐÒÉÍÅÒÅ 3 ÐÒÉ q =
1
5
, ÅÇÏ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ
1
1−
1
5
=
5
4
. ôÁË
ËÁË ÒÑÄ
∞
P
n=1
1
5
n+3
ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
∞
P
n=5
1
5
n−1
, ÔÏ ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÔÁÔËÏÍ
§1. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÒÑÄÙ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ 3
ðÒÉ q = 1, Sn = 1 + 1 + . . . + 1 + 1 = n, lim Sn = ∞; ÐÒÉ q = −1 ÐÏÓÌÅÄÏ-
n→∞
×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1, 0, 1, 0, 1, . . . É ÎÅ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ ÎÉ Ë
ËÁËÏÍÕ ÐÒÅÄÅÌÕ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÉ q = 1 É ÐÒÉ q = −1 ÒÑÄ (2) ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
åÓÌÉ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ q > 1, ÔÏ lim q n = ∞,
n→∞
ÐÏÜÔÏÍÕ lim Sn = ∞. òÑÄ (2) × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. åÓÌÉ q < −1, ÔÏ
n→∞
lim q n ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É lim Sn É, ÚÎÁÞÉÔ, ÒÑÄ (2)
n→∞ n→∞
ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
éÔÁË, ÐÒÉ |q| < 1 ÒÑÄ (2) ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÐÒÉ |q| > 1 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉÍÅÒ 4. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
X∞
1 − 1 + 1 −1 + ... = (−1)n−1.
n=1
òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ S2m−1 = 1, S2m = 0 ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ m, ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {Sn } ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÐÒÅÄÅÌÁ ÐÒÉ n → ∞.
∞
(−1)n−1 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÒÑÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
P
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÑÄ
n=1
ÒÑÄÏÍ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 3 ÐÒÉ q = −1.
òÑÄ
X∞
(3) Rn = ak = an+1 + an+2 + an+3 + . . .
k=n+1
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-Í ÏÓÔÁÔËÏÍ ÒÑÄÁ (1) ÉÌÉ ÏÓÔÁÔËÏÍ ÐÏÓÌÅ n-ÇÏ ÞÌÅÎÁ.
òÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ Ó×ÏÉÍ ÏÓÔÁÔËÏÍ (3), ÐÏÜÔÏÍÕ
ÞÁÓÔÏ ÐÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ×ÏÐÒÏÓÁ Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ×ÍÅÓÔÏ ÎÅÇÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ-
×ÁÀÔ n-Ê ÏÓÔÁÔÏË.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÅÇÏ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ S, ÔÏ Rn = S − Sn ,
ÔÁË ËÁË S = Sn + Rn ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n.
ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ ÒÑÄÁ
∞
1 1 1 X 1
4
+ 5 + 6 + ... = n+3
.
5 5 5 n=1
5
òÅÛÅÎÉÅ: òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÄ
∞
1 1 X 1
1 + + 2 + ... = n−1
.
5 5 n=1
5
üÔÏÔ ÒÑÄ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎ × ÐÒÉÍÅÒÅ 3 ÐÒÉ q = 51 , ÅÇÏ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ 1−1 1 = 54 . ôÁË
5
∞ ∞
1 1
P P
ËÁË ÒÑÄ 5n+3 ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ 5n−1 , ÔÏ ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÔÁÔËÏÍ
n=1 n=5
