Составители:
Рубрика:
Глава 4. Проверка статистических гипотез
14.3 Дисперсии равны, но неизвестны
В этом случае естественно заменить неизвестное значе-
ние σ
2
его несмещенной оценкой
S
2
=
1
n + m − 2
X
1≤i≤n
(x
i
− ¯x)
2
+
X
1≤j≤m
(y
j
− ¯y)
2
,
функция от которой χ
2
n+m−2
=
(n+m−2)S
2
σ
2
в предположении о
равенстве дисперсий имеет χ
2
n+m−2
-распределение с n + m − 2
степенями свободы. Таким образом, в качестве статистики кри-
терия можно использовать статистику
t
n,m
=
¯x − ¯y
S
q
1
n
+
1
m
=
¯x−¯y
σ
q
1
n
+
1
m
S
σ
=
¯x−¯y
σ
q
1
n
+
1
m
q
χ
2
n+m−2
√
n + m − 2, (14.2)
которая, как можно показать, пользуясь ортогональным пре-
образованием § 9.4, имеет при выполнении гипотезы H
0
распре-
деление Стьюдента с n + m − 2 степенями свободы. При этом
критическая область W принимает вид
W = {x, y : |t
n, m
| ≥ c
α
},
где c
α
определяется размером критерия α из соотношения
α = P
H
0
(W ) = 1 −P{−c
α
< t
n+m−2
≤ c
α
} = 2(1 −F
t
n+m−2
(c
α
)).
Откуда c
α
= t
n+m−2,1−
α
2
является (1 −
α
2
)-квантилем распреде-
ления Стьюдента с n + m − 2 степенями свободы.
Что касается мощности критерия, то в этом случае ее не
удается найти аналитически, так как в этом случае распре-
деление статистики t
n,m
(x, y) при альтернативной гипотезе
H
1
: µ
1
6= µ
2
не выражается через стандартные распреде-
ления. В этом случае можно воспользоваться методом стати-
стического моделирования.
121
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- …
- следующая ›
- последняя »
