Математическая статистика и планирование эксперимента. Рыков В.В - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4. Проверка статистических гипотез
П.5. Функция L
n
(
~
θ; x) = p(x;
~
θ) трижды дифференцируема по
~
θ и все ее частные производные ограничены.
Теорема 16.1. Пусть
~
θ
0
– истинное значение параметра
~
θ,
и
λ(
~
θ
0
; x) ≡ λ
n
(x) =
L
n
(
~
θ
0
; x)
sup
~
θ∈Θ
L
n
(
~
θ; x)
=
L
n
(
~
θ
0
; x)
L
n
(
ˆ
~
θ; x)
.
Тогда при выполнении условий П.1-П.5 имеет место предельное
соотношение
−2 ln λ
n
(
~
θ
0
; x) = 2 ln L
n
(
ˆ
~
θ; x) −2 ln L
n
(
~
θ
0
; x) → χ
2
r
,
где r – размерность параметрического множества Θ.
Доказательство. 1) Разложим функцию
ln L
n
(
~
θ; x) =
n
X
k=1
ln p(x
k
;
~
θ)
по формуле Тейлора в окрестности случайной точки
ˆ
~
θ. Имеем:
ln L
n
(
~
θ; x) = ln L
n
(
ˆ
~
θ; x) +
X
1≤i≤r
∂ ln L
n
(
~
θ; x)
∂θ
i
¯
¯
¯
~
θ=
ˆ
~
θ
(θ
i
−
ˆ
θ
i
) +
+
1
2
X
1≤i,j≤r
∂
2
ln L
n
(
~
θ; x)
∂θ
i
∂θ
j
¯
¯
¯
~
θ=
ˆ
θ
(θ
i
−
ˆ
θ
i
)(θ
j
−
ˆ
θ
j
) + R,
или полагая
~
θ =
~
θ
0
и записывая это соотношение в векторной
форме, получим
ln L
n
(
~
θ
0
; x) − ln L
n
(
ˆ
~
θ; x) = (grad ln L
n
(
ˆ
~
θ; x), (
~
θ
0
−
ˆ
~
θ)) +
+
1
2
√
n(
~
θ
0
−
ˆ
~
θ)
0
A
n
√
n(
~
θ
0
−
ˆ
~
θ) + R, (16.1)
137

Страницы