Математическая статистика и планирование эксперимента. Рыков В.В - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 16 Параметрический критерий для больших выборок
где A
n
– случайная матрица с элементами
a
(n)
ij
=
1
n
∂
2
ln L
n
(
~
θ; x)
∂θ
i
∂θ
j
¯
¯
¯
~
θ=
ˆ
~
θ
=
1
n
X
1≤k≤n
∂
2
ln p(x
k
;
~
θ)
∂θ
i
∂θ
j
¯
¯
¯
~
θ=
ˆ
~
θ
.
2) Так как элементы матрицы A
n
есть средние арифмети-
ческие с.в., то при n → ∞ по ЗБЧ при гипотезе H
0
имеет место
сходимость по вероятности
a
(n)
ij
→ M
~
θ
0
∂
2
ln p(X;
~
θ)
∂θ
i
∂θ
j
при n → ∞.
При этом для произвольного
~
θ справедливо
M
~
θ
∂
2
ln p(X;
~
θ)
∂θ
i
∂θ
j
=
Z
∂
2
ln p(x;
~
θ)
∂θ
i
∂θ
j
p(x;
~
θ) dx =
=
Z
∂
∂θ
i
µ
1
p
∂p
∂θ
j
p(x;
~
θ) dx =
= −
Z
1
p
2
∂p
∂θ
i
∂p
∂θ
j
p(x;
~
θ) dx +
Z
∂
2
p(x;
~
θ)
∂θ
i
∂θ
j
dx =
= −
Z
µ
1
p
∂p
∂θ
i
µ
1
p
∂p
∂θ
j
p(x;
~
θ) dx +
∂
2
∂θ
i
∂θ
j
Z
p(x;
~
θ) dx =
= −M
~
θ
"
∂ ln p(X;
~
θ)
∂θ
i
·
∂ ln p(X;
~
θ)
∂θ
j
#
≡ −J
ij
(
~
θ),
т.е. матрица A
n
сходится к матрице −J(
~
θ
0
), которая была вве-
дена в замечании к теореме 7.2, A
n
→ −J(
~
θ
0
) при n → ∞.
3) Т.к.
ˆ
~
θ – оценка максимального правдоподобия, то
grad ln L
n
(
ˆ
~
θ; x) = 0
138

Страницы