Математическая статистика и планирование эксперимента. Рыков В.В - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4. Проверка статистических гипотез
и, согласно замечанию к теореме 7.2, она асимптотически нор-
мальна с M
~
θ
0
ˆ
~
θ =
~
θ
0
и D
~
θ
0
ˆ
~
θ = M
~
θ
0
(
ˆ
~
θ−
~
θ
0
)(
ˆ
~
θ−
~
θ
0
)
0
=
1
n
J
−1
(
~
θ
0
).
4) Далее, так как J(
~
θ
0
) – симметричная положительно опре-
деленная матрица, то существует B такая, что B
0
= B, и
J(
~
θ
0
) = B
0
B = B
2
. Тогда
~
ξ = B(
ˆ
~
θ −
~
θ
0
)
√
n → N(0, I).
Меняя знак в равенстве (16.1) и умножая его на 2, получим
2 ln L
n
(
ˆ
~
θ; x) −2 ln L
n
(
~
θ
0
; x) →
√
n(
~
θ
0
−
ˆ
~
θ)
0
B
0
B
√
n(
~
θ
0
−
ˆ
~
θ) =
~
ξ
0
~
ξ.
С.в.
~
ξ
0
~
ξ асимптотически имеет χ
2
-распределение с r степе-
нями свободы,
2 ln L
n
(
ˆ
~
θ
n
; x) − 2 ln L
n
(
~
θ
0
; x) → χ
2
r
,
где r – размерность параметрического пространства.
Таким образом, доказанная теорема позволяет предложить
метод проверки параметрических гипотез при больших выбор-
ках, а именно: если n велико, то, выбирая в качестве статисти-
ки критерия функцию отношения правдоподобий λ
n
, построим
критическую область в виде
W = {x : −2 ln λ
n
> c
α
},
где постоянная c
α
легко вычисляется по заданному размеру
критерия из соотношения
P
H
0
(W ) = P
H
0
{−2 ln λ
n
> c
α
} = P{χ
2
r
> c
α
},
так как при выполнении гипотезы H
0
статистика −2 ln λ
n
асимптотически имеет χ
2
-распределение с r степенями свобо-
ды.
139

Страницы