Математическая статистика и планирование эксперимента. Рыков В.В - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 5. Планирование эксперимента
Теорема 19.1 (Марков). Среди всех линейных относительно
наблюдений y несмещенных оценок коэффициентов линейной
регрессии ОНК обладают минимальной дисперсией.
Другими словами, пусть t = T y – несмещенная оценка
коэффициентов регрессии, Mt =
~
β, где T – некоторая мат-
рица. Тогда диагональные элементы ковариационной матрицы
C
t
минимальны тогда и только тогда, когда
T = (X
0
X)
−1
X
0
. (19.10)
Доказательство. Из несмещенности вытекает, что
Mt = MT (X
~
β + ~ε) = MT X
~
β + MT ~ε = T X
~
β =
~
β,
т.е. T X = I. Далее
C
t
= M(t −
~
β)(t −
~
β)
0
= M[T (X
~
β + ~ε) −
~
β][T (X
~
β + ~ε) −
~
β]
0
=
= M[T X
~
β + T ~ε −
~
β][T X
~
β + T ~ε) −
~
β]
0
=
= M[T X
~
β −
~
β][T X
~
β −
~
β]
0
+ M[(T X
~
β −
~
β)~ε
0
T
0
] +
+ M[T ε(T X
~
β −
~
β)
0
] + M[T ~ε~ε
0
T
0
] = σ
2
T T
0
.
Теперь с учетом того, что T X = I из тождества
T T
0
= [T −(X
0
X)
−1
X
0
][T −(X
0
X)
−1
X
0
]
0
+[(X
0
X)
−1
X
0
][(X
0
X)
−1
X
0
]
0
вытекает, что диагональные элементы матрицы T T
0
принима-
ют минимальные значения равные (XX
0
)
−1
при T = (X
0
X)
−1
X
0
.
Следствие. ОНК некоторой линейной функции от парамет-
ров, скажем, ~α = A
~
β, обладают теми же свойствами опти-
мальности и имеют вид
a =
ˆ
~α = A(X
0
X)
−1
X
0
y. (19.11)
189

Страницы