Составители:
Рубрика:
Глава 5. Планирование эксперимента
Теперь можно отказаться от предположения о нормально-
сти распределения ошибок и их независимости, сохранив, од-
нако, требование их некоррелированности cov(ε
i
, ε
j
) = 0 при
j 6= i и равноточности
1
, Dε
i
= σ
2
, а также отсутствия система-
тической ошибки, Mε
i
= 0, и неслучайности регрессионных
переменных x
j
. Напомним, что в случае нормальности распре-
деления ошибок их независимость и некоррелированность эк-
вивалентны.
В этих более общих предположениях будем искать оцен-
ки коэффициентов регрессии, исходя из условия минимизации
квадратичной формы (19.8). Обоснованием такого подхода яв-
ляется, во-первых, тот факт, что в нормальном случае соот-
ветствующие оценки совпадают с ОМП, и, во-вторых, то, что
соответствующие оценки минимизируют “расстояние” между
истинной регрессией и ее оценкой в “естественной” евклидовой
метрике. Еще одним обоснованием приемлемости такого подхо-
да являются свойства оценок, рассматриваемые в следующем
разделе.
Заметим, что в предположении о некоррелированности и
равноточности ошибок наблюдений их матрица ковариаций
имеет вид C
ε
= C = σ
2
I, откуда следует, что обратная матрица
равна C
−1
= σ
−2
I. Таким образом, минимизация квадратич-
ной формы (19.8) эквивалентна минимизации другой квадра-
тичной формы
(Y − X
~
β)
0
(Y − X
~
β) (19.9)
Определение 19.1. Оценки
ˆ
~
β = b коэффициентов линей-
ной регрессии, полученные путем минимизации квадратичной
формы (19.8), называются оценками наименьших квадратов
(ОНК), а метод их получения – методом наименьших квадра-
тов (МНК).
1
Иногда используют также термин гомоскедастичность.
187
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- …
- следующая ›
- последняя »
